1.4 Dérivée de la fonction f: x→e^u(x)

1.4.1 Domaine de définition de f

Soient u et f deux fonctions telles que f(x)=e^u(x)
L'ensemble de définition de f est défini par
D={x∈IR/ x∈D_u} avec D_u est l'ensemble de définition de u.

1.4.2 Propriété 1

Si une fonction u est continue sur un intervalle I alors la fonction expou est continue sur I.

1.4.3 Propriété 2

Si une fonction u est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f=expou est dérivable sur I
et on a (∀x∈I): f'(x)=u'(x).e^u(x).

Démonstration
Soit x∈I on a (e^u(x))' = exp'(u(x).u'(x)
=(exp(u(x))).u'(x) = u'(x).eu(x)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=e^x²+x.
Etudier la dérivabilité de f sur IR.

Correction

La fonction x→x²+x est un polynôme donc dérivable sur IR
et donc f est dérivable sur IR.
Soit x∈IR
f'(x)=(2x+1)e^x²+x.

Exercice 2 tp

Soit g une fonction définie par f(x)=e^1/x.
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur D.

Correction

D={x∈IR / x≠0 }=IR*.
La fonction

x →	1
	x

est dérivable sur IR* et donc f est dérivable sur IR*.
Soit x∈IR*.

f '(x) = (	1	)'	e1/x
	x

=	- 1		e1/x
	x²

ainsi

f '(x) =	- 1		e1/x
	x²

Exercice 3 tp

Soit g une fonction définie par
g(x)= e^√(x).
Etudier la dérivabilité de la fonction g sur D.

Correction

D={x∈IR / x≥0 }=[0;+∞[.
La fonction x→√(x) est dérivable sur ]0;+∞[
donc g est dérivable sur ]0;+∞[
et on a ∀x∈]0;+∞[
g'(x)=(√(x))'g(x)

=	1	.g(x)=	1	e√(x)
	2√(x)		2√(x)

Ainsi

g '(x) =	1	e√(x)
	2√(x)

Il reste à étudier la dérivabilité à droite à 0.
On a g(0)=e⁰= 1

lim 0+	g(x) - g(0)	=	lim 0+	e√(x) - 1
	x			x

On pose √(x) = X
x→0⁺ ⇒ X→ 0⁺

√(x) = X ⇔ x = X² donc

lim 0+	g(x) - g(-2)	=	lim X→0+	eX - 1
	x			X²

=	lim X→0+	eX - 1	lim X→0+	1
		X		X

= 1 x (+∞) = +∞
et cela signifie que g n'est pas dérivable à droite à 0.