Exercice 1 tp

Soit g une fonction définie par
g(x)= e^√(2x+4).
Etudier la dérivabilité de la fonction g sur D.

Correction

Dg= x∈IR / 2x+4 ≥ 0 = [-2;+∞[.
La fonction x→2x+4 dérivable et strictement positive sur ]-2;+∞[
donc la fonction x→√(2x+4) est dérivable sur ]-2;+∞[
ainsi g est dérivable sur ]-2;+∞[.

On a ∀x∈]-2;+∞[
g'(x)=(√(2x+1))'g(x) =

2	.g(x)=	1	e√(2x+1)
2√(2x+1)		√(2x+1)

ainsi

g '(x)=	1	e√(2x+1)
	√(2x+1)

Il reste à étudier la dérivabilité à droite à (-2)
g(-2) = e⁰ = 1

lim (-2)+	g(x) - g(-2)	=	lim (-2)+	e√(2x+4) - 1
	x + 2			x + 2

On pose √(2x+4) = X
x→(-2)⁺ ⇒ X→ 0⁺

√(2x+4) = X ⇔ x =	X² - 4
	2

Donc

lim (-2)+	g(x) - g(-2)	=	lim X→0+	eX - 1	.2
	x + 2			X²

=	lim X→0+	eX - 1	lim X→0+	2
		X		X

en utilisant les deux limites usuelles suivantes

lim X→0+	2	= +∞
	X

lim X→0+	eX - 1	= 1
	X

On obtient

lim (-2)+	g(x) - g(-2)	= +∞
	x + 2

et cela signifie que g n'est pas dérivable à droite à (-2).