Exercice 1 tp

On considère une fonction f définie par

et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Calculer les limites de f en +∞ et en 1.
2) Déterminer les asymptotes de (C).
2) Résoudre dans IR l'équation (E)
(x-1)√(x-1)+1=0.
3) Calculer f'(x) puis étudier son signe et tracer le tableau de variations de f.

4) Soit g la restriction de f sur I=]1 ; +∞[.
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque g^-1.
(b) Calculer g(2) et (g^-1)'(0).
5) Tracer les courbes (C_f) et (C_g^-1) dans le même repère et déduire graphiquement le signe de f.

Correction

1) D={x∈IR/ x-1≥0 et √(x-1)≠0} =]1;+∞[.

Limite de f en +∞

+∞ + 0 = +∞

Limite de f en 1⁺

ainsi (C) admet une asymptote d'équation x=1.

ainsi (C) admet une asymptote oblique d'équation y=x.
2) On résout dans D l'équation
(x-1)√(x-1)+1=0
x>1 ⇒ x-1>0 ⇒ √(x-1)>0
donc (∀x>1) on a (x-1)√(x-1)+1>0
ainsi S = ∅.

3) x→x-1 est strictement positive et dérivable sur D
donc x→√(x-1) est dérivable sur D ainsi la fonction

est dérivable sur D.
Puisque x→x est dérivable sur IR et en particulier dérivable sur D alors f est continue et dérivable sur D.

Soit x∈D

ainsi

On a x>1 ⇔ x-1>0 ⇔ √(x-1)>0
donc (∀x∈D) on a f'(x)>0
alors f strictement croissante sur D.
Tableau de variations

4) f est continue et strictement croissante sur I=]1;+∞[ donc g est continue et strictement croissante sur I
ainsi g admet une fonction réciproque g^-1 définie de J=f(I) vers I.

g(2 =0 donc g^-1(0)=2
f est dérivable au point 2 donc g est dérivable au point 2.

g'(2) = f'(2) = 2 ≠ 0 donc g^-1 est dérivable au point g(2)=0

5) Les courbes (C_f) et (C_g)

La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point A(2;0).
La partie de la courbe (C) au dessus de l'axe des abscisses est l'ensemble des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle I=[2;+∞[.
La partie de la courbe (C) au dessous de l'axe des abscisses est l'ensemble des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle J=]1;2].

Donc f est postive sur l'intervalle I=[2;+∞[
et négative sur l'intervalle J=]1;2].