Mathématiques du secondaire qualifiant

Etude de fonctions numériques (1)

1- Rappels

1.1 Branches infinies et directions asymptotiques

1.1.1 Asymptotes parallèles aux axes du repère

Soit f une fonction numérique et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j). La droite d'équation x=a est une Asymptote à la courbe (C).

Si
lim
a-
f(x) = ±∞ ou
lim
a+
f(x) = ±∞

La droite d'équation y=b est une asymptote à (C) au voisinage de ±∞.

Si
lim
±∞
f(x) = b

Exemple Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =2x
x+1

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j).

1) On a
lim
+∞
f(x) = 2

Donc la droite (D) d'équation y=2 est une asymptote à (C) au voisinage de +∞.

2) On a
lim
-1+
f(x) = +∞

donc la droite (D) d'équation (D') d'équation x=-1 est une symptote à (C) à droite à -1.

3) On a
lim
-1-
f(x) = +∞

donc la droite (D) d'équation x=-1 est une asymptote à (C) à gauche à -1.

 asymptote
1.1.2 Asymptote oblique

Propriété 1: Soit (C) une courbe d'une fonction qui admet une limite infinie en ±∞.

Si
lim
±∞
f(x)-(ax+b)= 0 avec a∈IR* et b∈IR

alors la droite (D) d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à (C) au voisinage de ±∞.
En d'autre terme (D): y=ax+b est une asymptote oblique à (C) si f(x) s'écrit sous la forme f(x)=ax+b+h(x)

Avec h une fonction telle que


lim
±∞
h(x) = 0

Exemple Soit f une fonction définie par

f(x) = x-1+1
x-1

lim
±∞
f(x)-(x-1)=
lim
±∞
1 =0
x-1
donc
lim
±∞
f(x)-(x-1) = 0

Ainsi la droite d'équation y=x-1 est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de +∞ et de -∞.

Propriété 2

Si
lim
±∞
f(x)= a et
lim
±∞
f(x)-ax = b
x

alors la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de +∞ ou -∞.