2- الحلقة والجسم:

2.1 الحلقة

2.1.1 تعريف

لتكن (A;*;T) مجموعة مزودة بقانونيين للتركيب الداخلي * و T
نقول ان (A;*;T) حلقة اذا تحققت الشروط الثلاث التالية
1) (A;*) زمرة تبادلية
2) LCI * تجميعية
3) LCI T توزيعية على *
ملاحظة: بالاضافة الى ذلك اذا كان القانون T تبادلي فان (A;*;T) حلقة تبادلية
واذا كان القانون T يقبل عنصرا محايدا فان (A;*;T) تسمى حلقة واحدية.

2.1.2 امثلة

مثال 1

(ℤ;+;×); (ℚ;+;×); (ℝ;+;×) و (ℂ;+;×) ; (ℤ/nℤ ; +; ×) حلفات
تبادلية وواحدية

مثال 2

مجموعة التطبيقات المعرفة من المجموعة E نحو IR ونرمز لها بF(E;IR) ومزودة بقانونين داخليين + و × هي حلقة تبادلية

مثال 3

(M2;+;×) و (M3,+;×) حلقتان

مثال 4

(IN;+;×) ليست حلقة لان (IN;+) ليست زمرة

ملاحظة

العنصر المحايد (A;*) يسمى صفر للحلقة (A;*;T)

2.1.3 خاصيات

لتكن (A;*;T) حلقة واحدية و z صفرها و e';x'; y' مماثلاث على التوالي ل e ; x ; y في (A;*) لدينا
(1
∀x∈A, xTz=zTx=z
(2
∀x∈A, e'Tx=x'
(3
∀(x;y)∈A², x'Ty=xTy'=(xTy)'

مثال

(IR;+;×) حلقة اذن
1) ∀x∈IR: 0×x=x×0=0 لان z=0 هو صفر للحلقة
2) ∀x∈IR, -1×x=-x
3) ∀(x;y)∈IR², (-x)×y=x×(-y)=-(x×y)

2.1.4 حلقة مدمجة

تعريف: نقول ان حلقة (A;*;T) هي مدمجة اذا كانت A لا تحتوي على قواسم الصفر z
بتعبير آخر
∀(x;y)∈A²: xTy=z⇒x=z ∨ y=z

2.1.5 مثال

(IR;+;.) حلقة مدمجة لان
∀(x;y)∈IR²: x.y=0⇒x=0 ∨ y=0

2.2 الجسم :

2.2.1 تعريف

ليكن K مجموعة مزودة ب LCI * و T.
نقول ان (K;*;T) جسم اذا تحققت الشروط التالية
1) (K;*;T) حلقة واحدية
2) لكل x∈K\{z} مماثل في (K;T)
بالاضافة الى ذلك اذا كانت T تبادلية فان (A;*;T) جسم تبادلي

2.2.2 امثلة

1) (ℚ;+;×); (ℝ;+;×) ; (ℂ;+;×) اجسام تبادلية
2) (ℤ;+;×) ليس جسما و (ℤ/nℤ; +;×) ليس كذلك بجسم

2.2.3 خاصية مميزة

(k;*;T) جسم اذا وفقط اذا كان
1) (K;*) زمرة تبادلية عنصرها المحايد z
2) (K\{z} ; T) زمرة
3) T توزيعية على *

2.2.4 ملاحظة

(k;*;T) جسم يستلزم (k;*;T) زمرة مدمجة.