4.3 التكامل بتغيير المتغير

4.3.1 مثال

تصحيح:

نلاحظ ان x²+2x+2=1+(x+1)²
نضع x+1=t
اذن (x+1)'dx=dt ; x=-1→t=0 & x=0⇒t=1
اذن_-1∫⁰f(x)dx=₀∫¹1/(1+t²)dt =₀∫¹(arctan)'(t)dt
=arctan(1)-arctan(0)=π/4 -0
⇒_-1∫⁰f(x)dx=π/4
نلاحظ ان : f(x)=g(φ(x)) مع g(x)=1/(1+x²) & φ(x)=x+1
لقد كتبنا f على شكل مركب دالتين.

4.3.2 خاصية

لتكن f دالة متصلة على [a;b], اذا كانت f=goφ فان:
_a∫^bf(x)dx=_φ(a)∫^φ(b)g(t)dt; t=φ(x) & dt=φ'(x)dx

5- حساب المساحات والحجوم

5.1 حساب المساحات

5.1.1 Iتقديم

وحدة قياس المساحة ;UA هي مساحة المستطيل OIKJ حيث i^→=OI^→ و j^→=OJ^→
نرمز ب S للمساحة المحصورة بين المنحنى Cf ومحور الافاصيل والمستقيمين (D): x=a و (D'): x=b
اذا كانت f تابتة اي f=k فان

اذا كانت f(x)=mx+p

=(1/2).(f(a)+f(b)) = S
هي مساحة شبه المنحرف ABCD

5.1.2 خاصية 1

اذا كانت f دالة متصلة على المجال I=[a;b]
فان مساحة حيز المحصور بين المنحنى Cf ومحور الافاصيل والمستقيمين (D): x=a و (D'): x=b هي

5.1.3 خاصية 2

لتكن f و g دالتين معرفتين ومتصلتين على I=[a;b]
مساحة جزء المستوى المحصور بين المنحنيين Cf و Cg والمستقيمين (D): x=a و (D'): x=b هي

مثال

||i^→||=2cm ; ||j^→||=3cm
f(x)=(0,25)x² ; g(x)=x^-1 و I=[0,5 ; 4]

5.2 حساب الحجوم

5.2.1 حجم مجسم

لتكن S(t) مساحة تقاطع مستوى مع مجسم , حجم المجسم المحدد بين المستويين , le Pa: x=a و Pb: x=b هو

5.2.2 حجم مجسم مولد بدوران

لتكن f دالة عددية متصلة على المجال I=[a;b], دوران المنحنى Cf دورة كاملة حول محور الافاصيل يولد مجسما , وتقاطع المستوى الذي معادلته x=t مع هذا المجسم هو دائرة مركزها f(t) ومساحتها π(f(t))²

هو حجم المجسم المولد بدورة كاملة للمنحنى Cf حول محور الافاصيل ومحصور بين المستويين P: x=a ; P': x=b