Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (3)

2- Techniques de calcul intégral

2.1 Utilisation des fonctions primitives

2.1.1 Rappel

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] et F sa fonction primitive.

b

a
f(x)dx = F(b) - F(a)
2.1.2 Exemples

Exemple 1 calculer l'integralle suivante

2

1
2(2x-1)(x²-x+5) dx

Correction
La fonction f: x→2(2x-1)(x²-x+5) est continue sur [1;2] donc elle admet des fonctions primitives.
On remarque que (x²-x+5)'=2x-1
donc f(x)=2(x²-x+5)'(x²-x+5)
=[(x²-x+5)²]'.

Et donc

2

1
f(x)dx =[(x²-x+5)²] 2
1

=49-25=24.

ainsi 2

1
2(2x-1)(x²-x+5) dx = 24

Exemple 2 Calculer l'integrale suivante

I = 0

-1
2x+1 dx
√(x²+x+1)

Correction
La fonction

f: x→ 2x+1
√(x²+x+1)

est continue sur [-1;0] donc elle admet des fonctions primitives.
On remarque que (x²+x+1)'=2x+1

donc f(x) = (x²+x+1)' dx
√(x²+x+1)

⇔ f(x) = 2(√(x²+x+1))'.

Et donc

I = 2[√(x²+x+1)] 0
-1

= 2 - 2 = 0
ainsi I=0.

Exercice 1 tp

Calculer l'integrale suivante

π/2

cosx.sinx dx
Exercice 2 tp

Calculer l'integrale suivante

J = e

1
1 dx
x(1+lnx)
Correction

On remarque que

(1+lnx)'= 1
x

Donc

1 = (1+lnx)'
x(1+lnx) 1+lnx

ainsi

J = [ln(1+lnx)] e
1
= ln(2)
Exercice 3 tp

Calculer l'integrale suivante

K = 0

-1
x+1 dx
x²+2x+2
Correction

On remarque que
(x²+2x+2)'=2x+2=2(x+1).

K = 1 [ln|x²+2x+2|] 0
-1
2
= 1 ln(2) - ln(1)
2

ainsi K = ln(√(2)).