Exercice 1 tp

En utilisant l'intégration par partie,
montrer que

e ∫ 1	x².lnx dx =	1	(2e³+1)
		9

Exercice 2 tp

En utilisant l'intégration par partie, montrer que

π/2 ∫ 0	cos(x)ln(1+cos(x)) dx =	π	- 1
		2

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie
sur I=[1 ; e] par

f(x) =	2xlnx
	1 + x²

Calculer par intégration par partie l'intégrale suivante

F =

e ∫ 1

f(x)

dx

Correction

f est une fonction continues sur D=I donc elle admet des fonctions primitives sur I

F =	e ∫ 1	2xlnx	dx
		1 + x²

la fonction v=ln et la fonction

x→	2xlnx
	1 + x²

sont dérivables sur I

On utilise la méthode d'intégration par partie
On pose

u ' =	2x		v =	lnx
	1 + x²
u =	ln(1+x²)		v' =	1
				x

Donc

F =

[u.v]

e 1

-

e ∫ 1

(uv')

dx

=	[ln(1+x²).lnx]	e 1	-	e ∫ 1	lnx	dx
					x

=	ln(1+e²) -	e ∫ 1	lnx	dx
			x

On calcule l'intégrale

K =	e ∫ 1	lnx	dx
		x

On a la fonction ln est dérivable sur I et on a

1	= (ln)'(x)
x

Donc

K =

e ∫ 1

(lnx)'lnx

dx

=	1	e ∫ 1	((lnx)²)'	dx
	2

=	1	[ (lnx)² ]	e 1
	2

=	(lne)² - (ln1)²
	2

Donc K =	1
	2

Ainsi

F = ln(1+e²) -	1
	2