Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (6)

Exercice 1 tp

En utilisant l'intégration par partie,
montrer que

e

1
x².lnx dx = 1 (2e³+1)
9
Exercice 2 tp

En utilisant l'intégration par partie, montrer que

π/2

0
cos(x)ln(1+cos(x)) dx = π - 1
2
Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie
sur I=[1 ; e] par

f(x) = 2xlnx
1 + x²

Calculer par intégration par partie l'intégrale suivante

F = e

1
f(x) dx
Correction

f est une fonction continues sur D=I donc elle admet des fonctions primitives sur I

F = e

1
2xlnx dx
1 + x²

la fonction v=ln et la fonction

x→ 2xlnx
1 + x²

sont dérivables sur I

On utilise la méthode d'intégration par partie
On pose

u ' = 2x v = lnx
1 + x²
u = ln(1+x²) v' = 1
x

Donc

F = [u.v] e
1
- e

1
(uv') dx
= [ln(1+x²).lnx] e
1
- e

1
lnx dx
x
= ln(1+e²) - e

1
lnx dx
x

On calcule l'intégrale

K = e

1
lnx dx
x

On a la fonction ln est dérivable sur I et on a

1 = (ln)'(x)
x

Donc

K = e

1
(lnx)'lnx dx
= 1 e

1
((lnx)²)' dx
2
= 1 [ (lnx)² ] e
1
2
= (lne)² - (ln1)²
2
Donc K = 1
2

Ainsi

F = ln(1+e²) - 1
2