Limites et Continuité (1)
1- Continuité d'une fonction numérique
1.1 Continuité d'une fonction numérique en un point
1.1.1 Activité
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x²-x | si x≠0 | |
| x | |||
| f(0) = | - 1 | si x=0 |
1) Déterminer D, l'ensemble de définition de f.
2) (a) Calculer
| lim 0+ | f(x) | et | lim 0- | f(x) |
(b) Déduire que
| lim 0 | f(x) = f(0) |
Par définition on dit que f est continue au point 0.
1.1.2 Définition (1)
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de centre a.
On dit que f est continue au point a si l'image de a par f est égale à la limite de f au point a.
En d'autre terme
f est continue au point a si
| lim a | f(x) = f(a) |
Définition (2) utilisation de la définition
f est continue en a⇔
| (∀ε>0)(∃β>0)(∀x∈D)(|x-a|<β⇒|f(x)-f(a))|<ε |
Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 3x²-12 | si x≠-2 | |
| x+2 | |||
| f(-2) = | -12 | si x=-2 |
Montrer que f est continue au point -2.
Correction
On a f(-2)=-12
Méthode (1) on calcule la limite de f au point -2.
lim -2 |
f(x) = | lim -2 |
3x²-12 |
| x+2 |
| = | lim -2 | 3(x²-4) | |
| x+2 | |||
| = | lim -2 |
3(x-2) = -12 | |
| donc | lim -2 | f(x)) = f(-2) |
Ainsi f est continue au point -2.
Méthode (2) soient ε>0 et x∈D.
On a |x-(-2)|=|x+2|
| et |f(x)-f(-2)|=| | 3x²-12 | | = 3|x+2| |
| x+2 |
| β = | ε |
| 3 |
| |x+2| < | ε | ⇒ 3|x+2| < ε |
| 3 |
Ainsi (∀ε > 0)(∃β = ε/3 > 0)(∀x∈Df)
(|x+2|<β ⇒ |f(x)-f(-2))|<ε
Finalement f est continue au point -2.
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 1-x | si x≠1 | |
| 1-√x | |||
| f(1) = 2 | si x=1 |
1) Déterminer D l'ensemble de définition de f.
| 2) (a) Calculer | lim 1+ | f(x) |
(b) Déduire que f est une fonction continue au point 1.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = | x² - 9 |.
1) Calculer
| lim 3+ | f(x) | et | lim 3- | f(x) |
2) Déduire que f est continue au point 3.