Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

	f(x) =	3x²-12	si x≠-2
		x+2
	f(-2) = -12	si x=-2

Montrer que f est continue au point -2

Correction

On a f(-2) = -12
Limite de f au point -2

lim -2	f(x) =	lim -2	3x²-12
			x+2

=	lim -2	3(x²-4)
		x+2
=	lim -2	3(x-2) = -12

Donc

lim -2

f(x)) = f(-2)

et cela signifie que f est continue au point -2

Deuxième méthode, soient ε > 0 et x∈D
On a |x-(-2)|=|x+2| et

|f(x)-f(-2)|= |	3x²-12	| = 3|x+2|
	x+2

donc β existe, il suffit de poser

β =	ε
	3

|x+2| <	ε	⇒ 3|x+2| < ε
	3

Ainsi (∀ε > 0)(∃β = ε/3 > 0)(∀x∈Df)
(|x+2| < β ⇒ |f(x)-f(-2))| < ε
Finalement f est continue au point -2

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x²-1
	|x-1|
f(1) = 2

Etudier la continuité de f au point 1

Correction

On a f(1) = 2 et signe de x-1

x		-∞		1		+∞
x - 1			-	0	+

|x-1|=x-1 si x≥1 et |x-1|=-(x-1) si x≤1

lim 1-	f(x) =	lim 1-	(x-1)(x+1)
			-(x-1)
=	lim 1-	- (x+1)	-2 ≠ f(1)

Ainsi f n'est pas continue à gauche à 1

lim 1+	f(x) =	lim 1-	(x-1)(x+1)
			(x-1)
=	lim 1-	(x+1)	2 = f(1)

Ainsi f est continue à droite à 1
f n'admet pas de limite au point 1 car la limite à droite à 1 est différente à la limite à gauche à 1
et par conséquent f n'est pas continue au point 1

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

	f(x) =	x²-4	si x ≤ -3
	f(x) =	√(2x²-x+4)	si x > -3

Etudier la continuité de f au point -3

Correction

Si x≤3 on a f(x)=x²-4 donc f(2)=(-3)²-4=5
f est continue par construction à gauche à -3

lim (-3)+

f(x)

=

lim (-3)+

√(2x²-x+4)

= √[2.(-3)²-(-3)+4] = √(25) = 5 = f(-3)
donc f est aussi continue à droite à -3
alors f est continue au point -3

Exercice 4 tp

Soit f une fonction numérique définie par

	f(x) =	1-x	si x≠1
		1-√x
	f(1) = 2	si x=1

1) Déterminer D l'ensemble de définition de f
2) Etudier la continuité de f au point 1