Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Montrer que f est continue sur ]0 ; 2[
3) Déterminer f(]0 ; 1[) et f([1 ; 2[)
4) Déduire l'image de l'intervalle I=]0;2[ par f

Correction

1) On a f est définie au point 1 car f(1)=-1
donc D = ]0 ; 1[∪[1 ; 2[ = ]0 ; 2[
2) La restriction de f sur ]0 ; 1[ est une restriction d'une fonction rationnelle donc continue sur ]0 ; 1[
La restriction de f sur [1 ; 2[ est une restriction d'une fonction polynôme
donc continue sur [1 ; 2[
Ainsi f est continue sur ]0 ; 2[
3) Soit x∈]0 ; 1[
x∈]0 ; 1[ ⇔ 0 < x < 1

⇔

⇔ f(x) < -1
Donc f(]0 ; 1[)=]-∞ ; -1[
Notons que l'image de l'intervalle ouvert et borné ]0 ; 1[ par la fonction f est un intervalle non borné et ouvert
Soit x∈[1 ; 2[
x∈[1 ; 2[ ⇔ 1 ≤ x < 2

⇔ -2 < -x ≤ -1
⇔ -2 < f(x) ≤ -1
Donc f([1 ; 2[) = ]-2 ; -1]
4) Soit x∈I
x∈I ⇔ x∈]0 ; 1[ ou x∈[1 ; 2[
Donc f(I)=]-∞;-1[∪]-2 ; -1] = ]-∞;-1]
Notons que l'image de l'intervalle ouvert et borné ]0 ; 2[ par la fonction f est un intervalle non borné et fermé à droite

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = x² + 2x
Déterminer f(]-∞ ; -2]) ; f([-1 ; 0])
et f([0 ; +∞[)

Correction

1) f est un polynôme donc continue sur en particuler sur les intervalles donnés
On étudie les variations de f sur chaque intervalle donné
2) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR on a f '(x) = 2x + 2

f '(x) = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 ⇔ x = -1
f '(x) > 0 ⇔ x > -1
⇔ x∈]-1 ; +∞[
Cela signifie que f est strictement croissante sur [-1 ; +∞ [
Et puisque [0 ;+∞[⊂[-1 ; +∞ [
alors f est strictement croissante
sur [0 ;+∞[
On a f(0)=0 et

Ainsi f([0 ;+∞[) = [0 ;+∞[
Et puisque [-1 ; 0]⊂[-1 ; +∞ [
alors f est strictement croissante sur [-1 ; 0]
ainsi f([-1 ; 0]) = [-1 ; 0] car f(-1)=-1 et f(0)=0
f '(x) < 0 ⇔ x < -1
⇔ x∈]-∞ ; -1[
cela signifie que f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; -1]

Et puisque ]-∞ ; -2]⊂]-∞ ; -1]
Alors f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; -2]
Ainsi f(]-∞ ; -2]) = [0 ; +∞[
car f(-2) = 0 et