1- دالة اللوغاريتم النبيري

1.1 تعريف وخاصيات

1.1.1 تعريف

دالة اللوغاريتم النبيري ونرمز لها ب ln هي الدالة الاصلية الوحيدة للدالة العددية المعرفة على ]0;+∞[ بما يلي

x→	1
	x

التي تنعدم في العدد 1,اي ln(1)=0

1.1.2 نتائج

1) D_ln=]0;+∞[
2) ln قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[ ولدينا

∀x∈]0;+∞[: ln'(x)=	1
	x

اذن ln تزايدية قطعا على ]0;+∞[

1.1.3 خاصيات

اذا كان 0 < x < 1 فان lnx < 0
اذا كان x > 1 فان lnx > 0

∀x;y∈]0;+∞[, lnx=lny⇔x=y
∀x;y∈]0;+∞[, lnx< lny⇔x< y

تمرين 1

حل في IR المعادلة التالية
ln(x+1)=ln2x

تصحيح

المعادلة l(x+1)=ln2x معرفة ادا كان x+1>0 و 2x>0
اي اذا كان x>-1 et x>0 ومنه فان De=]0;+∞[
ليكن x∈]0;+∞[, l(x+1)=ln2x⇔x+1=2x
⇔ x+1=2x⇔x-2x+1=0⇔-x=-1
اذن x=1 وبما ان 1∈De اذن 1 هو حل للمعادلة
اذن S={1}

تمرين 2

حل في IR المعادلة التالية
ln(2x+2)=ln(x+5)

تصحيح

المعادلة ln(2x+2)=ln(x+5) معرفة اذا كان 2x+2>0 و x+5>0
اي x≥-1 و x≥-5
اذن المعادلة معرفة اذا كان x≥-1;( ناخذ الاكبر )
اذن De=]-1;+∞[

ليكن x∈]-1;+∞[,
ln(2x+2)=ln(x+5)⇔2x+2=x+5
⇔2x+2=x+4⇔2x+2-x=5
⇔x=5-2=3
وبما ان 3∈]-1;+∞[, فان S={3}

1.1.4 الخاصيات الجبرية

ليكن x و y∈]0;+∞[
ln(xy)=lnx + lny

تمارين

1. اذا اخذنا ln2=0,7 و ln7=1,95
احسب ln(14)
2. اذا اخذنا ln25=3,2
احسب ln5

نتائج

ليكن x و y عددين موجبين قطعا
1) lnx² = 2lnx
2) ∀n∈IN, lnxⁿ=nlnx

ln(	1	)=-ln(y) (3
	y
ln(	x	)=ln(x)-ln(y) (4
	y

ln√(x)=	1	ln(x) (5
	2

برهان ل 3 و 4:

اذن	x>0, 1=x.	1
		x

ln1= ln(x.	1	)=lnx+ln	1
	x		x

ln1=0 لان	ln	1	=-lnx
		x

خاصية 4 هي نتيجة ل 3

ln	x	= lnx+ln	1
	y		y
⇒ ln	x	= lnx-lny
	y

1.1.5 خاصية

ليكن x>0 و r∈Q لدينا lnx^r=rlnx

تمرين 1

بسط : ln8 + ln12 - ln18

تمرين 2

حل في IR:
1) lnx = 0 ; 2) lnx = 1
3) lnx = 3 ; 4) lnx = -2

تصحيح

1) المعادلة lnx=0, معرفة اذا كان x∈]0;+∞[
لدينا ln1=0 اذن
lnx=0⇔lnx=ln1
⇔x=1, 1∈]0;+∞[
اذن S={1}

2) lnx=1⇔lnx=lne ,(lne=1)
⇔x=e
اذن S={e}
3) lnx=3=3.1⇔lnx=3lne
⇔lnx=lne³
⇔x=e³
اذن S={e³}
lnx=-2⇔lnx=-2.1
⇔lnx=-2lne⇔lnx=lne^-2
⇔x=e^-2
اذن S={e^-2}

1.2 التمثيل المبياني للدالة x→lnx

1.2.1 مجموعة التعريف والنهايات :

D=]0;+∞[
∃!e∈D: lne=1 ; e≃2,718
لان 1∈IR و الدالة ln متصلة وتزايدية قطعا على D
lim_+∞ lnx = +∞
و lim ₀₊ lnx = - ∞ اذن المنحنى (C) يقبل مقاربا معادلته x=0, (محور الافاصيل )

1.2.2 الوضع النسبي للمنحنى (C) والمستقيم (D):y=x

لدينا ∀x> 0; lnx< x

برهان

نعتبر الدالة g:x→x-lnx
نحسب g'(x) وندرس اشارتها

x	0		1		+∞
g'(x)	||	-	0	+

g تناقصية قطعا على المجال ]0;1[
وتزايدية قطعا على المجال ]1;+∞[
اذن g تقبل قيمة دنوية في 1;
وبما ان g(1)=1>0 فان لكل x>0 لدينا lnx< x ومنه فان المنحنى (C) يوجد تحت المستقيم (D).

1.2.3 الفرع اللانهائي

المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الافاصيل (Ox)
لان √x>0 اذن ln√x< √x اي :

1	lnx < √x
2

عندما x→+∞ و x> e² يكون lnx>2 اي

lnx	>	2
x		x

1	<	lnx	<	1
x		2x		√x

اذن

lim∞	ln(x)	=0
	x

وبالتالي المنحنى C يقبل فرعا شلجميا في اتجاه (Ox)

1.2.4 الرتابة

∀x∈]0;+∞[; (ln)'(x)=	1	>0
	x

ln'(x)> 0 يعني ان ln تزايدية قطعا على ]0;+∞[