3- الدوال الاصلية للدالة

3.1 تذكير

اذا كانت u دالة غير منعدمة وقابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f المعرفة ب : f(x)=ln(|u(x)|) قابلة للاشتقاق على I ولدينا :

∀x∈I, f'(x)=	u'(x)
	u(x)

3.2 خاصية

اذا كانت u دالة غير منعدمة وقابلة للاشتقاق على مجال I فان الدوال x→ln(|u(x)|)+k, k∈IR هي الدوال الاصلية

x→	u'(x)	للدالة
	u(x)

تمرين 1

حدد الدوال الاصلية للدالة f المعرفة ب

تصحيح

نلاحظ ان الدالة x→x²+x+2 موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على IR لان (Δ< 0)
و (x²+x+2)'=2x+1 اذن الدوال x→ln(x²+x+2)+k حيث k∈IR هي الدوال الاصلية للدالة f

تمرين 2

حدد الدوال الاصلية للدالة f المعرفة ب

تصحيح

لدينا D=]-∞;-2[∪]-2;2[ ∪]2;+∞[
و x→x⁴-16 قابلة للاشتقاق ولا تنعدم على D
اذن الدوال x→-ln(|x⁴-16|)+k ; k∈IR هي الدوال الاصلية للدالة f.

4- دالة اللوغاريتم للاساس a

4.1 تعريف وخاصيات

4.1.1 تعريف

ليكن a عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف العدد 1
دالة اللوغاريتم للاساس a هي الدالة التي نرمز لها ب log_a ومعرفة على IR*+ ب :

4.1.2 مثال :

دالة اللوغاريتم للاساس 3

log3(5)=	ln5
	ln3

4.2 خاصيات 1

ليكن a>0 و a≠1 و n∈IN* و x>0 و y>0
الدالة log_a متصلة وقابلة للاشتقاق على ]0;+∞[ ولدينا :

∀x∈IR*+:	(loga)'(x)=	1
		xlna

loga(1) = 0
loga (a)= 1
loga(x)=loga(y) ⇔ x=y
loga(x)=r ⇔ x=ar; r∈IR
loga(xy)=loga(x)+loga(y);
loga(xr) = rloga(x) ; r∈IR

loga	1	= -loga(x)
	x
loga	x	= loga(x)-loga(y)
	y

4.2.2 خاصيات 2

ليكن x;y∈IR*+
اذا كان a>1 فان x < y ⇔ log_a(x) < log_a(y)
اذا كان 0< a < 1 فان x < y ⇔ log_a(x) > log_a(y)

4.3 دالة اللوغاريتم العشري

4.3.1 تعريف

دالة اللوغاريتم العشري هي دالة اللوغاريتم للاساس 10 ونرمز لها باختصار log
log معرفة على IR*+ ب :

log(x)=	lnx
	ln10

4.3.2 مثال :

log(7)=	ln7
	ln10

4.4 خاصية

ليكن x>0
الدالة log معرفة وقابلة للاشتقاق على ]0;+∞[ ولدينا :

∀x∈IR*+:	(log)'(x)=	1
		xln10

تمرين 1

احسب log(0,0001) ; log₃(81)

تمرين 2

حل في IR المعادلات التالية :
1) log(2x+3)= 1 ;
2) (log₃)²(x)-4log₃(x)+3=0
3) ln(x-2) + ln(x-3) = ln2

تمرين 3

حل في IR المتراجحات التالية :
1) log_0,5(x-3)< 4
2) ln²(x)-4ln(x)+3>0
3) ln²(x)-8ln(√x)+3< 0