Fonctions Logarithmes (3)
1.3 Etude de la fonction x→ln(x)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
(O ; i→ ;j→). On considère la fonction logarithme népérien ln et (C) sa courbe représentative.
1.3.1 Domaine de définition de ln et Limites
Domaine de définition
La fonction ln est définie de l'intervalle IR+* vers IR
ainsi D=IR+*.
Limites usuelles
On admet les limites suivantes
lim +∞ | ln(x) | = +∞ |
lim 0+ | ln(x) | = - ∞ |
1.3.2 Position de (C) et (D):y=x
La courbe (C) est au dessous de la droite (D) d'équation y=x.
En d'autre terme
(∀x∈IR+*): lnx < x .
Démonstration
On considère la fonction g définie par
g(x)=x-lnx.
On calcule g'(x) puis on étudie son signe
| g '(x) = 1 - | 1 | = | x - 1 |
| x | x |
| x | 0 | 1 | +∞ | |||
| g'(x) | || | - | 0 | + |
g est strictement décroissante sur ]0;1[
et strictement croissante sur ]1;+∞[
alors g admet une valeur minimale au point 1.
Puisque g(1)=1>0 alors (∀x∈IR+*): g(x)>0
ou encore lnx < x et cela signifie que la courbe (C) est au-dessous de la droite (D).
2.3.3 Branche infinie
lim 0+ | ln(x) | = - ∞ |
signifie que l'axe des ordonnées (Oy):x=0 est une asymptote à la courbe (C).
La courbe (C) admet une branche parabolique de direction (Ox).
Notons que
(∀x∈IR+*): √x>0
donc ln(√x) < √x car (ln(x) < x )
ou encore
| 1 | lnx < √x |
| 2 |
x→+∞ donc x > e² alors lnx > 2
Ou encore
| lnx | > | 2 |
| x | x |
| 1 | < | lnx | < | 1 |
| x | 2x | √x |
et par conséquent
lim ∞ |
lnx | = 0 |
| x |
Et cela signifie que la courbe (C) admet une branche parabolique de direction (Ox).
1.3.4 Autres limites
Soit n∈IN*
lim 0 |
ln(x+1) | = 1 | lim 1 |
lnx | = 1 | |
| x | x-1 | |||||
lim +∞ |
ln( x) | = 0 | lim +∞ |
ln(x) | = 0 | |
| x | xn | |||||
lim 0+ |
xlnx = 0 | lim 0+ |
xnlnx = 0 |