Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Logarithmes (6)

2.3 Primitives de la fonction

x→ u'(x)
u(x)
2.3.1 Rappel

Si u est une fonction non nulle et dérivable sur un intervalle I alors la fonction f définie par
f(x)=ln(|u(x)|) est dérivable sur I et (∀x∈I):

f'(x) = u'(x)
u(x)
2.3.2 Propriété

Si u est non nulle et dérivable sur I alors les fonctions Fk définies par
Fk(x)=ln(|u(x)|)+k avec k∈IR sont les fonctions primitives de la fonction

x→u'(x)
u(x)

Exemple 1
Déterminer les fonctions primitives de la fonction f définie par

f(x) = 2x+1
x²+x+2

Correction
La fonction x→x²+x+2 est strictement positive et dérivable sur IR car Δ<0
et (x²+x+2)'=2x+1 donc les fonctions Fk définies par
Fk(x)=ln(x²+x+2)+k avec k∈IR sont les fonctions primitives de la fonction f sur IR.

Exemple 2
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par

f(x) = -4x³
x4-81

Correction
D=]-∞;-3[∪]-3;3[ ∪]3;+∞[
x→x4-81 est dérivable et ne s'annule pas sur D donc l'ensemble des fonctions Fk définies par
Fk(x)=-ln(|x4-81|)+k avec k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f sur D.

Exemple 3
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par

f(x) = cos(x)
sin(x) + 2

Correction
(∀x∈IR) on a sin(x) + 2 > 0
car -1 ≤ sinx ≤ 1
donc D = IR.

La fonction x→sin(x) + 2 est dérivable et ne s'annule pas sur D. Soit x∈D

f(x) = (sin(x) + 2)' = (ln(|sin(x) + 2|))'
sin(x) + 2

(∀x∈IR) on a sin(x) + 2 > 0 donc l'ensemble des fonctions Fk définies par
Fk(x)=-ln(sin(x) + 2)+k avec k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f sur IR.

Exemple 4
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par

f(x) = x
x+1

Correction
D={x∈IR / x+1≠ 0} donc D=IR \ {-1}.
f est une fonction rationnelle donc continue sur son domaine de définition D et donc elle admet des fonctions primitives sur D.

On a

f(x) = x+1 - 1
x+1
= 1 - 1
x+1

donc f(x) = (x)'- (ln|x+1|)'
alors l'ensemble des fonctions Fk définies par
Fk(x)= x - ln(| x + 1 |)+k avec k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f sur D.