Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Logarithmes (8)

Exercice 1 tp

Simplifier
1) a = ln2 +ln12 - ln9.
2) b=ln3-1+ln3.5-1+ln5.7-1+ln7.3-1.
3) c=ln(√2 +1)2020+ln(√2 -1)2020.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR, les équations suivantes
1) log(2x+3)=1.
5) ln(2x)+ln(x+1) 0.
3) (log2)²(x)-7log2(x)+10=0.
4) ln(x-2)+ln(x+1)=ln2.

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR, les inéquations suivantes
1) log1/2(x-3)< 4.
2) ln²(x)-3ln(x)+2 > 0.
3) ln²(x)-4ln(√x)+1 < 0.
4) ln(x+1)+lnx²< ln2.
5) 2ln²(x-1)-3ln(x-1)+1<0.

Exercice 4 tp

Calculer


lim
+∞
1-lnx
lim
+∞
x-ln(x²-1)
x
Correction

lim
+∞
1-lnx =
lim
+∞
1 - ln(x)
xx x

lim
+∞
1 = 0
lim
+∞
ln(x) = 0
x x
donc
lim
+∞
1-lnx = 0
x

lim
+∞
x-ln(x²-1) =
lim
+∞
x-ln(x²(1 - 1 )
=
lim
+∞
x - ln(x²) - ln(1 - 1 )
=
lim
+∞
x (1 - 2ln(x) ) - ln(1 - 1 )
x

On a


lim
+∞
ln(x) = 0
lim
+∞
ln(1 - 1 ) = 0
x
donc
lim
+∞
x-ln(x²-1) =
lim
+∞
x = +∞
Exercice 5 tp

(I) Soit f une fonction définie par
f(x)=ln(x²-2x+2) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j).
1) (a) Vérifier que
(∀x∈IR) on a x²-2x+2=(x-1)²+1.
(b) Déduire que f est définie sur IR puis calculer


lim
+∞
f(x) et
lim
- ∞
f(x)

2) Montrer que
(∀x∈IR): f(2-x)=f(x).
3) (a) Vérifier que ∀x∈[1;+∞[

f(x) = 2ln(x)+ln(1- 2 + 2 )
x

(b) Déduire que


lim
+∞
f(x) = 0
x

puis interpréter ce résultat.

4) (a) Montrer que

(∀x∈IR): f'(x) =2(x-1)
(x-1)²+1

(b) Tracer le tableau de variations de f sur IR.
5) (a) Montrer que

(∀x∈IR): f "(x) =2x(2-x)
[(x-1)²+1]²

(b) Etudier la concavité de la courbe (C).
c) Tracer la courbe (C).

(II) Soit h la restriction de f sur I=[1;+∞[
1) Montrer que h est une bijection de I vers l'intervalle J qui doit être spécifié.
2) Déterminer h-1(x).