Fonctions Logarithmes (8)
Exercice 1 tp
Simplifier
1) a = ln2 +ln12 - ln9.
2) b=ln3-1+ln3.5-1+ln5.7-1+ln7.3-1.
3) c=ln(√2 +1)2020+ln(√2 -1)2020.
Exercice 2 tp
Résoudre dans IR, les équations suivantes
1) log(2x+3)=1.
5) ln(2x)+ln(x+1) 0.
3) (log2)²(x)-7log2(x)+10=0.
4) ln(x-2)+ln(x+1)=ln2.
Exercice 3 tp
Résoudre dans IR, les inéquations suivantes
1) log1/2(x-3)< 4.
2) ln²(x)-3ln(x)+2 > 0.
3) ln²(x)-4ln(√x)+1 < 0.
4) ln(x+1)+lnx²< ln2.
5) 2ln²(x-1)-3ln(x-1)+1<0.
Exercice 4 tp
Calculer
| lim +∞ |
1-lnx | lim +∞ |
x-ln(x²-1) | |
| x |
Correction
| lim +∞ |
1-lnx | = | lim +∞ |
1 | - | ln(x) |
| x | x | x |
| lim +∞ |
1 | = 0 | lim +∞ |
ln(x) | = 0 | |
| x | x |
| donc | lim +∞ |
1-lnx | = 0 |
| x |
| lim +∞ | x-ln(x²-1) = | lim +∞ |
x-ln(x²(1 - | 1 | ) |
| x² |
| = | lim +∞ |
x - ln(x²) - ln(1 - | 1 | ) |
| x² |
| = | lim +∞ |
x (1 - 2 | ln(x) | ) - ln(1 - | 1 | ) |
| x | x² |
On a
| lim +∞ |
ln(x) | = 0 | lim +∞ |
ln(1 - | 1 | ) = 0 | |
| x | x² |
| donc | lim +∞ |
x-ln(x²-1) = | lim +∞ |
x = +∞ |
Exercice 5 tp
(I) Soit f une fonction définie par
f(x)=ln(x²-2x+2) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
1) (a) Vérifier que
(∀x∈IR) on a x²-2x+2=(x-1)²+1.
(b) Déduire que f est définie sur IR puis calculer
lim +∞ |
f(x) | et | lim - ∞ |
f(x) |
2) Montrer que
(∀x∈IR): f(2-x)=f(x).
3) (a) Vérifier que
∀x∈[1;+∞[
| f(x) = 2ln(x)+ln(1- | 2 | + | 2 | ) |
| x | x² |
(b) Déduire que
lim +∞ |
f(x) | = 0 |
| x |
puis interpréter ce résultat.
4) (a) Montrer que
| (∀x∈IR): f'(x) = | 2(x-1) |
| (x-1)²+1 |
(b) Tracer le tableau de variations de f sur IR.
5) (a) Montrer que
| (∀x∈IR): f "(x) = | 2x(2-x) |
| [(x-1)²+1]² |
(b) Etudier la concavité de la courbe (C).
c) Tracer la courbe (C).
(II) Soit h la restriction de f sur I=[1;+∞[
1) Montrer que h est une bijection de I vers l'intervalle J qui doit être spécifié.
2) Déterminer h-1(x).