Fonction Logarithme (1)
Exercice 1 tp
1) Si on prend ln(3)≃1,1 et ln(7)≃1,95
calculer ln(21)
ln est la fonction logaritme népérien
2) Calculer
log(100000) ; log(0,001) ; log(102022)
log est la fonction logarithme décimale
Correction
1) 21 = 3×7 donc ln(21) = ln(3) + ln(7)
Et donc ln(21) ≃ 1,1 + 1,95
alors ln(21) ≃ 3,05
2) log100000 = log105 = 5log10 = 5.1 = 5
donc log100000 = 5
log(0,001) = log(10-3) = -3log10 = -3
donc log(0,001) = -3
log(102022) = 2022
Exercice 2 tp
Si on pose ln(81) ≃ 4,4
calculer ln(9) et déduire ln(3)
Correction
81 = 9×9 donc ln(81) = ln(9) + ln(9)
donc 4,4 ≃ 2ln(9) alors ln(9) ≃ 2,2
On a également 9 = 3×3
donc ln(9) = ln(3) + ln(3) = 2ln(3)
ainsi 2,2 ≃ 2ln(3) alors ln(3) ≃ 1,1
Exercice 3 tp
Simplifier E = ln(20) + ln(12) - ln(15)
Correction
Il existe plus qu'une méthode de répondre à cette question
ln(20) = ln(4×5) = ln(4) + ln(5)
ln(12) = ln(4×3) = ln(4) + ln(3)
ln(15) = ln(3×5) = ln(3) + ln(5)
ainsi
E = ln4 + ln5 + ln4 + ln3 - (ln3 + ln5)
= 2ln(4) = 2ln(2²)
alors E = 4ln(2)
Exercice 4 tp
Simplifier
A = ln2 +ln12 - ln9
B = ln | 1 | + ln | 3 | + ln | 5 | + ln | 7 |
3 | 5 | 7 | 3 |
C = ln(√2 +1)2020 + ln(√2 -1)2020
Exercice 5 tp
Résoudre dans IR les équations suivantes
ln(x) = 0 | ln(x) = 1 | |
ln(x) = 3 | ln(x) = -2 |
Correction
1) L'équation ln(x) = 0 est définie
si x∈]0 ; +∞[
On a ln(1) = 0 donc
ln(x) = 0 ⇔ ln(x) = ln(1) ⇔ x = 1
Puisque 1∈]0 ; +∞[ alors S = { 1 }
2) L'équation ln(x) = 1 est définie
si x∈]0 ; +∞[
On a ln(e) = 1 donc
ln(x) = 1 ⇔ ln(x) = ln(e) ⇔ x = e
Puisque e∈]0 ; +∞[ alors S = { e }
3) L'équation ln(x) = 3 est définie
si x∈]0 ; +∞[
ln(x) = 3 = 3.1 ⇔ ln(x) = 3ln(e)
En utilisant la propriété ln(xn) = n ln(x) on obtient
ln(x) = 3 ⇔ ln(x) = ln(e³) ⇔ x = e³
Puisque e³∈]0 ; +∞[ alors S = { e³ }
4) L'équation ln(x + 3) = -2 est définie
si x+3 > 0
x+3 > 0 ⇔ x > -3
⇔ x∈]-3 ; +∞[
ln(x + 3) = -2 ⇔ ln(x + 3) = ln(e-2)
⇔ x + 3 = e-2 ⇔ x = -3 + e-2
Puisque -3 + e-2 > -3 alors S = { -3 + e-2}.