6- استقلالية حدثين واستقلالية اختبارين

6.1 استقلالية حدثين

تعريف

نقول ان حدثينمستقلان اذا لم يكن لانجاز احدهما تاثير على تحقيق الآخر.
بتعبير آخر , حدثان مستقلان عند انجاز متتابع
يعني p(E∩F)=p(E).p(F) او p(E|F)=p(E)

6.2 حدثان مرتبطان

تعريف

E و F حدثان مرتبطان يعني p(E∩F)≠p(E).p(F)

6.3 الاختبارات غير المرتبطة

6.3.1 الاختبارات المتكررة

مثال

يحتوي صندوق على 3 كرات حمراء وكرتين خضراوين , لا يمكن التمييز بينها باللمس نسحب عشوائيا كرتين بالتتابع وبدون احلال اي الكرة التي تسحب لاتعاد الى الصندوق
ليكن الحدث E : "سحب كرتين حمراوين"
1. احسب p(E)
2. نعيد هذا الاختبار 7 مرات
احسب احتمال تحقق الحدث E ثلاث مرات بالضبط

تصحيح

1)

p(E)=	A²3	=	3.2	=	3
	A²5		5.4		10

2. مثل هذاالسؤال يتم انجازه عبر مرحلتين , اولا تحديد الامكنة ل E و E:

(توجد C²₅ امكانية وهذه واحدة

E

Ē

E

Ē

Ē

ثانيا ,سبق انجازها من قبل , اختيار كرتين حمراوين : احتمال هذا الحدث 0,3
نضع H "الحدث E يتحقق بالضبط 3 مرات" وبناء على ذلك فان الاحتمال المضاد Ē ( يتحقق 4 مرات)

p(H) = C³7(	3	)³.(1-	3	)4
	10		10

6.3.2 خاصية

ليكن (W;p) فضاء احتماليا منتهيا و E حدثا في W
اذا كررنا اختبار n مرة فان احتمال الحدث E يتحقق k مرة بالضبظ معرف بصيغة الحدانية

p(H) = Ckn(p(E))k.(1- p(E))n-k

k∈{0;1;2;...;n}

تمرين

يحتوي صندوق على 10 افراص مرقمة من 1 الى 10 نسحب قرصا من الصندوق ونعتبر الحدث E سحب قرص الذي يحمل رقما يقبل القسمة على 4 .
نكرر هذا الاختبار اربع مرات , احسب احتمال تحقق الحدث E مرتين بالضبط

7- المتغير العشوائي و قانون احتمال المتغير العشوائي

7.1 المتغير العشوائي

7.1.1 انشطة

يحتوي صندوق على 7 اقراص مرقمة من 1 الى 7 نسحب عشوائيا قرصا من الصندوق, اذا كان يحمل رقما قابلا للقسمة على 3فان اللاعب يربح 5 كتب واذا كان غير ذلك يسحب منه 4 كتب
لدينا W={1;2;3;4;5;6;7} التطبيق او الدالة المعرفة على W ونرمز لها ب x تسمى متغيرا عشوائيا وصورة W ب x نرمز لها ب X(W) اذن X(w)={-4 ; 5}

7.1.2 تعريف

ليكن (w;p) فضاء احتماليا منتهيا, عندما نربط كل عنصر من w بعدد حفيفي xi نكون قد عرفنا متغيرا عشوائيا في w ونرمز له ب x .
ونرمز لصورة w ب x(w)={x1;x2; .. ; xn}

7.1.3 مثال

ناحذ المثال السابق

w	1	2	3	4	5	6	7
x	-4	-4	5	-4	-4	5	-4
p	1/7	1/7	1/7	1/7	1/7	1/7	1/7

نهتم الى قيم الربح

xi	-4	5	المجموع
p(x=xi)	5/7	2/7	1

7.2 قانون احتمال متغير عشوائي

7.2.1 تعريف

القانون الاحتمالي لمتغير عشوائي x:
هو تطبيق يربط كل عنصر من x(w) باحتمال الاحدث "x = xi" ولتحديده نحدد اولا x(w) ثم نحسب الاحتمالات p(x=xi) ونلخص هذه النتائج في جدول

xi	x1	x2	...	xq
p(x=xi)	p(x=x1)	p(x=x2	...	p(x=xq)

7.3 الامل الرياضي والمغايرة والانحراف الطرازي لمتغير عشوائي

7.3.1 تعاريف

ليكن (w;p) فضاء احتماليا منتهيا و x متغيرا عشوائيا معرفا في w
اذا كان x(w)={x1;x2;...;xq} فان :
الامل الرياضي ونرمز له ب E(x) معرف بما يلي
E(x)= x1.p(x=x1)+x2.p(x=x2) +...+ xq.p(x=xq)
المغايرة لمتغير عشوائي x ونرمز لها ب V(x) معرفة كما يلي
V(x)= E(x²)-(E(x))²

و الانحراف الطرازي لمتغير عشوائي x ونرمز له ب σ(x) معرف كما يلي
σ(x)=√(V(x))

7.3.2 مثال

نعتبر قانونا احتماليا للمتغير العشوائي x المعرف في الجدول التالي

xi	2	3	4	المجموع
p(x=xi)	0,2	0,5	0,3

E(x)= 2.0,2+3.0,5+4.0,3
=3,1
V(x)= E(x²)-(E(x))² نحسب E(x²)
E(x²)= 2².0,2+3².0,5+4².0,3
= 0,8+4,5+4,8=10,1
اذن المغايرة
V(x)=10,1-9,61=0,7
ومنه فان الانحراف الطرازي
σ(x)= √(0,7)