1.4 Evénement contraire et événements incompatibles

1.4.1 Evénements contraires

Définition
A et E sont deux événements contraires signifie qu'ils sont disjoints et leur union est l'événement certain.
En d'autre terme
A et E sont contraires ⇔ (E∩A=∅ et E∪A=Ω).
ainsi p(E)=1-p(A).

Notation
Si E est l'événement contraire de A on écrit A=Ē ou bien E=Ā.

Exemple
Une urne contient 5 jetons numérotés par 0 ; 1 ;2 ; 3 ; 5 et tous sont indisernables au toucher.
01235 On tire simultanément deux jetons et on considère l'événement E: la somme de deux numéros apparants est égale à 5.
Calculer p(E) et p(Ē).

Correction
Il n'y a pas de répétition ou ordre dans cette expérience
il s'agit donc des combinaisons.

cardΩ = 10.
Les cas des deux numéros dont la somme est 5 sont
0 et 5 car 0+5=5
2 et 3 car 2+3=5

cardE = 2

Evénement contraire Ē

1.4.2 Evénements incompatibles

Définition
Deux événements E et F sont imcompatibles signifie que E∩F=∅.

Remarques
1) Deux événements incompatibles ne se produisent jamais simultanément.
2) Deux événements contraires sont incompatibles.

Exemple
Si on on lance une pièce de monnaie alors pile P ou face F apparait mais pas les deux. P et F sont donc incompatibles.

1.5 Union et intersection de deux événements

1.5.1 Propriétés

Soient E et F deux evenements de l'espace probabilisé fini (Ω;p).
Si E ∩ F = ∅ alors
p(E ∪ F) = p(E)+p(F).
Si E∩F≠∅ alors
p(E∪F) = p(E) + p(F) - p(E ∩ F).

1.5.2 Exemple

Soient E et F deux événements tels que p(E)=0,5 et p(F)=0,7.
1) Est ce que E et F sont incompatibles ?
2) Si p(E∪F)=0,8 calculer p(E∩F).

Correction
1) p(E)+p(F)=0,5+0,7=1,2 > 1 donc E∩F≠∅
ainsi E et F ne sont pas incompatibles.
2) p(E∪F)=p(E)+p(F)-p(E∩F)
ou encore 0,8=0,5+0,7-p(E∩F)
ou encore p(E∩F)=1,2-0,8=0,4 ainsi p(E∩F)=0,4.

Exercice 1 tp

Une urne contient 5 boules bleues ; 4 boules vertes et 1 boule rouge. Toutes les boules sont indisernables au toucher.
On tire deux boules successivement et sans remise.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants
1) B: tirer 2 boules bleues.
2) D: tirer deux boules bleues de couleurs différentes.
3) M: la boule rouge est tirée.