1- مبرهنة رول

لتكن f:[a;b]→IR دالة عددية
اذا حققت الدالة f الشروط الثلاث التالية:
c1) الدالة f متصلة على القطعة [a;b].
c2) الدالة f قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ]a;b[.
c3) لدينا f(a)=f(b).
فانه يوجد c∈]a;b[ بحيث: f'(c)=0

2- مبرهنة التزايدات المنتهية "TAF"

2.1 TAF

لتكن f:[a;b]→IR دالة عددية
اذا حققت الدالة f الشرطين التاليين:
c1) الدالة f متصلة على القطعة [a;b].
c2) الدالة f قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ]a;b[.
فانه يوجد c∈]a;b[ بحيث:
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

برهان:

لتكن f دالة متصلة على [a;b] وقابلة للاشتقاق على ]a;b[
نضع

k=	f(b)-f(a)
	b-a

ونعتبر الدالة φ:x→φ(x)=f(x)-k(x-a),
لدينا φ(a)=f(a); φ(b)=f(a) اذن φ(a)=φ(b)
φ متصلة على [a;b] وقابلة للاشتقاق على ]a;b[

حسب مبرهنة رول فانه
∃c∈]a;b[/ φ'(c)=0
وبما ان φ'(x)=f'(x)-k

=f'(x)-	f(b)-f(a)
	b-a

فان

f'(c)-	f(b)-f(a)	=0
	b-a

اذن

∃c∈]a;b[, f'(c)	f(b)-f(a)
	b-a

وبالتالي
∃c∈]a;b[, f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

2.2 متفاوتات التزايدات المنتهية

لتكن f:[a;b]→IR دالة عددية
اذا حققت الدالة f الشروط الثلاث التالية:
c1) الدالة f متصلة على [a;b].
c2) الدالة f قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح ]a;b[.
c3) ولدينا ∃(m;M)∈IR² ∀x∈]a;b[, m≤f'(x)≤M.
فان: m(b-a)≤f(b)-f(a)≤M(b-a)

برهان:

بما ان c1 و c2 محققتان فان حسب TAF, ∃c∈]a;b[/ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
لدينا c∈]a;b[ نطبق الشرط c3 اذن m≤f'(c)≤M اي m(b-a)≤f'(c)(b-a)≤M(b-a)
ومنه فان m(b-a)≤f(b)-f(a)≤M(b-a).

3- مبرهنة لوبيتال للاستئناس (Théorème de l'Hospital)

3.1 مبرهنة:

لتكن f و g دالتين معرفتين وقابلتين للاشتقاق على I
ولتكن a∈I بحيث f(a)=g(a) و g'(x)≠0 حيث x∈I\{a}

lima	f'(x)	=L اذا كانت
	g'(x)

L (عدد حقيقي) فان

lima	f(x)	=L
	g(x)

3.2 مثال:

f:x→	lnx
	x²-1

نريد حساب lim₁f(x)
نضع u(x)=lnx و v(x)=x²-1,
u و v قابلتان للاشتقاق على IR*+
بالاضافة الى ذلك u(1)=v(1)=0
و ∀x∈IR*+\{1}, v'(x)=2x≠0

لدينا

lim1	u'(x)	=lim1	1/x	=0,5∈IR
	v'(x)		2x

اذن حسب TH

lim1	u(x)	=0,5
	v(x)

ومنه فان lim₁f(x)=0,5.