Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (10)

3- Monotonie et Extremums

3.1 Signe de la dérivée et monotonie

3.1.1 Théorème

Soit f une fonction dérivable sur intervalle I.
f est caroissante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)≥0.
f est décaroissante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)≤0.
f est constante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)=0.

3.1.2 Propriété

Soit f une fonction dérivable sur intervalle I.
1) f est strictement caroissante sur I
⇔ (∀x∈I): f'(x)>0.
2) f est strictement décaroissante sur I
⇔ (∀x∈I): f'(x)<0.

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x²-2x+3.
f est une fonction polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IR on a f'(x)=2x-2.

Signe de f'(x)

x -∞ 1 +∞
f'(x) -0+

f'(x)≤0 si x≤1 et f'(x)≥0 si x≥1
donc f est strictement décroissante sur ]-∞;1[ et strictement croissante sur ]1;+∞[.


lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
x² = +∞

lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
x² = +∞
x -∞ 1 +∞
f'(x) - 0 +
f +∞


2

+∞

On a de plus 2 est une valeur minimale de f en 1.

Exercice 1 tp

Etudier la monotonie de la fonction f définie par

f(x) =5x+1
x+3

et tracer son tableau de variations.

Correction

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{-3}. Soit x∈D

f'(x) = (5x+1 )' =14
x+3(x+3)²

14>0 et (x+3)²>0 donc (∀x∈D): f'(x)>0.

mais D est l'union de deux intervalles disjoints
on dit f est strictement croissante sur ]-∞;-3[ et strictement croissante sur ]-3;+∞[.


lim
-∞
f(x) =
lim
-∞
5x+1
x+3
=
lim
-∞
5x = 5
x

lim
+∞
f(x)=
lim
+∞
5x+1
x+3
=
lim
+∞
5x = 5
x
x -∞ -3 +∞
Signe de x+3 - || +

lim
-3-
f(x) =
lim
-3-
5x+1
x+3
= -14 = +∞
0-

lim
-3+
f(x) =
lim
-3+
5x+1
x+3
= -14 = - ∞
0+
x -∞ -3 +∞
f'(x)- ||+
f

5

+∞ ||

-∞

5
Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = x+1+1
x

1) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.