Dérivation (10)
3- Monotonie et Extremums
3.1 Signe de la dérivée et monotonie
3.1.1 Théorème
Soit f une fonction dérivable sur intervalle I.
f est caroissante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)≥0.
f est décaroissante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)≤0.
f est constante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)=0.
3.1.2 Propriété
Soit f une fonction dérivable sur intervalle I.
1) f est strictement caroissante sur I
⇔ (∀x∈I): f'(x)>0.
2) f est strictement décaroissante sur I
⇔ (∀x∈I): f'(x)<0.
Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x)=x²-2x+3.
f est une fonction polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR on a f'(x)=2x-2.
Signe de f'(x)
x | -∞ | 1 | +∞ | |||
f'(x) | - | 0 | + |
f'(x)≤0 si x≤1 et f'(x)≥0 si x≥1
donc f est strictement décroissante sur ]-∞;1[ et strictement croissante sur ]1;+∞[.
lim -∞ |
f(x) = | lim -∞ |
x² = +∞ |
lim +∞ | f(x) = | lim +∞ | x² = +∞ |
x | -∞ | 1 | +∞ | |||
f'(x) | - | 0 | + | |||
f | +∞ | ↘ |
2 |
↗ |
+∞ |
On a de plus 2 est une valeur minimale de f en 1.
Exercice 1 tp
Etudier la monotonie de la fonction f définie par
f(x) = | 5x+1 |
x+3 |
et tracer son tableau de variations.
Correction
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{-3}. Soit x∈D
f'(x) = ( | 5x+1 | )' = | 14 |
x+3 | (x+3)² |
14>0 et (x+3)²>0 donc (∀x∈D): f'(x)>0.
mais D est l'union de deux intervalles disjoints
on dit f est strictement croissante sur ]-∞;-3[
et strictement croissante sur ]-3;+∞[.
lim -∞ | f(x) = | lim -∞ |
5x+1 |
x+3 |
= | lim -∞ |
5x | = 5 |
x |
lim +∞ | f(x)= | lim +∞ |
5x+1 |
x+3 |
= | lim +∞ |
5x | = 5 |
x |
x | -∞ | -3 | +∞ | |||
Signe de x+3 | - | || | + |
lim -3- |
f(x) = | lim -3- |
5x+1 |
x+3 |
= | -14 | = +∞ |
0- |
lim -3+ |
f(x) = | lim -3+ |
5x+1 |
x+3 |
= | -14 | = - ∞ |
0+ |
x | -∞ | -3 | +∞ | ||||
f'(x) | - | || | + | ||||
f | 5 | ↗ | +∞ | || | -∞ | ↗ | 5 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = x+1+ | 1 |
x |
1) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.