Mathématiques du secondaire qualifiant

الاشتقاق ومعادلات تفاضلية (2)

تمرين 4 tp

نعتبر الدالة f x→f(x)=|x²-4| ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f في النقطة 2.

تصحيح

لدينا f(x)=|x-2|.|x+2| و f(2)=0
1) ندرس قابلية الاشتقاق في 2 على اليمين
ليكن x∈[2;2+r[ حيث r>0 اذن x≥2 و |x²-4|=(x-2)(x+2).

lim
2+
f(x)-f(2) =lim
2+
x²-4
x-2x-2

=lim2+x+2=2+2=10
اذن f'd(2)=10

2) ندرس قابلية الاشتقاق في 2 على اليسار
ليكن x∈]2-r;2] حيث r>0 بقيمة صغيرة اذن x≤2 و

lim
2-
f(x)-f(2) =lim
2-
-(x²-4)
x-2x-2

=lim2--x-2=-10
ومنه فان f'g(2)=-10
وبما ان f'g(2)≠f'd(2) فان f غير قابلة للاشتقاق في 0
مع ان f قابلة للاشتقاق في 0 على اليمين وعلى اليسار
في هده الحالة نقول ان المنحنى (C) يقبل نصفي مماس عند A(2;0) ونقول ايضا ان المنحنى يقبل نقطة مزواة عند A

تمرين 5 tp

لتكن f دالة عددية معرفة ب f(x)=√(x)
1)حدد التقريب التآلفي f(1+h) بجوار 0 ?
2) تطبيق: حدد قيمة مقربة للعدد √(1,005)

تصحيح

لدينا : f(a+h)≃hf'(a)+f(a); h→0
و f(1)=1 اذن يجب حساب العدد المشتق f'(1)

lim
x→1
f(x)-f(1)= lim
x→1
1
x-1√(x)+1

اذن f'(1)=0,5
وبالتالي f(1+h)≃(0,5)h+1
لاحظ ان 0,005 يقترب من 0 والدالة x→√(x) قابلة للاشتقاق في 1 اذن
f(1+0,005)≃0,005f'(1)+f(1) اي √(1,005)≃0,005×(0,5)+1
ومنه فان √1,005 ≃1,0025

تمرين 6 tp

لتكن f دالة عددية , احسب f'(x) حيث x∈Df في كل من الحالات التالية
1) f(x)=-3x³+x²+5x-4
2) f(x)=(1-2x²)(5x+4)
3) f(x)=(5x²+4x)³-(x²+7x)²

تمرين 7 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي

f(x)=x+1+1
x

1) احسب النهايات عند محدات الدالة f
2) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول التغيرات

تمرين 8 tp

لتكن f دالة عددية احسب f'(x) حيث x∈Df في كل من الحالات التالية

f(x)=x+2
x²-2x-3
f(x)=2x+5+2
x-1
f(x)=1-x² +1+x²
x+2x-2
تمرين 9 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي

f(x)=x4+1
x4-1

1) احسب النهايات عند محدات مجموعة تعريف الدالة f
2) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول التغيرات

تمرين 10 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

f(x)=x³-1; x≤2
f(x)= x²+3 ; x>2

ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f في 2

تصحيح

لا يمكن تعويض 2 في الصيغة f(x)=x²+3
لان هذ الصيغة خاصة بالاعداد اكبر قطعا من 2 اذن f(2)=2³-1=7


lim
2+
f(x)-f(2)
x-2
=
lim
2+
x²+3-7
x-2
=
lim
2+
x²-4
x-2
=
lim
2+
(x+2)=4

اذن f قابلة للاشتقاق في 2 على اليمين ولدينا f'd(2)=4

ولدينا


lim
2-
f(x)-f(2)
x-2
=
lim
2-
x³-1-7
x-2

=lim
2-
x³-2³ =
lim
2-
(x²+2x+4)=12
x-2

اذن f قابلة للاشتقاق في 2+
ولدينا f'g(2)=12
وبما ان f'g(2)≠f'd(2) فان f غير قابلة للاشتقاق في 2