Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

1) Montrer qaue f n'est pas dérivable au point 1
et déterminer les équations des demi-tangentes de la courbe de f au points A(1;f(1)).
2) Déterminer l'équation de la tangente au point B(-1;f(-1)).

Correction

On ne peut pas remplacer 1 dans l'expression f(x)=x²+3
car cette expression est valable pour les nombres supérieurs stricts à 1.
On a f(1)=1³-3.1=-2.

f est dérivable à droite à 1 et f'_d(1)=2.

Ainsi (C) admet une demi-tangente à droite au point A(1;-2)
d'équation y=2(x-1)-2 ou encore y=2x-4.

on pose p(x)= x³-3x+2.
p(1)= 1-3+2=0 donc le polynôme p(x) est divisble par x-1 ou encore il existe un polynôme q(x) de degré 2 tel que p(x)=(x-1)q(x).

donc q(x)=x²+x-2
ainsi x³-3x+2=(x-1)(x²+x-2).

donc f est dérivable à gauche à 1 et f'_g(1)=0
ainsi (C) admet une demi-tangente à gauche à 1
d'équation y= 0(x-1)-2
ou encore y=-2 et cette demi-tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

On a f'_g(1)≠f'_d(1) donc f n'est pas dérivable au point 1.
2) Equation de la tangente au point B(-1;f(-1)).
On étudie la dérivabilité de f au point -1
-1<1 donc on s'intéresse à l'expression f(x)=x³-3x.
f(-1)=-1+3=2

on pose h(x)=x³-3x-2 donc h(-1)=0 et donc h(x) est divisible par x+1.

f'(-1)=0 signifie que (C) admet une tangente horizontale d'équation y=f(-1)=2.