Mathématiques du secondaire qualifiant

متجهات الفضاء (1)

تمرين 1 tp

ليكن TBCD رباعي اوجه, بحيث كل اوجهه مثلثات متساوية الاضلاع
بين ان TC ⊥BD ; TB⊥CD و TB⊥CD.

تصحيح

1) نبين ان TC ⊥BD
نعتبر المثلث المتساوي الاضلاع TBD و I منتصف القطعة [BD]
لدينا (BD)⊥(TI)
نعتبر المثلث المتساوي الاضلاع CBD
لدينا (BD)⊥(CI)
اذن
{(BD)⊥(TI) ⇒ (BD)⊥(TCI)
(BD)⊥(CI)
لدينا اذن
{(TC)⊂(TCI) ⇒ (BD)⊥(TC)
(BD)⊥(TCI)
ومنه فان TC ⊥BD

نبين بنفس الطريقة
TB⊥CD و TB⊥CD

تمرين 2 tp

ليكن TBCD رباعي اوجه, O منتصف القطعة [BD] و I و J نقطتين بحيث
BI = 1BC ; DJ = 1DC
3 3
1) بين ان I; J; T و D غير مستوائية
2) لتكن K نقطة بحيث
CK = 2CO
3
بين ان K منتصف القطعة [IJ]

تصحيح

1) نبين ان I; J; T و D غير مستوائية
نفترض انها مستوائية اذن توجد في نفس المستوى , المستوى (IJD) لان النقط I; J و D غير مستوائية
ومنه فان T∈(IJD)

اذن (TCD); (TBD) و (BCD) مستويات منطبقة وهذا يتنافى مع كون (TBDC) رباعي اوجه وبالتالي النقط I; J; T و D غير مستوائية
2) نبين ان K منتصف [IJ]
CK = 2CO ⇒ OK = 1OC
33
لدينا من جهة اولى
{OK = 1OC
3
BI = 1BC
3
KI = 1 OB
3

ومن جهة اخرى
{OK = 1OC
3
DI = 1DC
3
KJ = 1 OD
3
وبما ان O منتصف [BD] فان OD= - OB اذن
KJ = -1 OB= -KI
3
KI = - KJ يعني ان I, منتصف القطعة [IJ]

تمرين 3 tp

ليكن TBCD رباعي اوجه و I و J نقطتين بحيث
DI = 1TB ; BJ = 1BT + BC
2 2
1) انشئ الشكل
2) بين ان النقط I; D; J و C مستوائية
3) بين ان الرباعي IDJC متوازي اضلاع

تمرين 4 tp

ليكن PABCD هرما قاعدته, ABCD مربع مرطزه O وكل الاوجه الاخرى مثلثات متساوية الاضلاع
لتكن M نقطة من المستوى (ABC) بحيث
OM = 1AB
2
1) حدد المحل الهندسي للنقطة M
2) لتكن N منتصف [PM]
عندما M تتغير في المستوى (ABC), حدد المحل الهندسي للنقطة N مع تحديد عناصره المميزة