Espace analytique (2)
Exercice 1 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère dans 𝔼 un plan (P) passant par un point A(2;-1;1) et orienté par deux vecteurs u→(1;1;2) et v→(2;0;2).
1) Justifier que (P) est un plan.
2) Déterminer une équation du plan (P).
Correction
1) On vérifie que u→ et v→ ne sont pas colinéaires
on suppose que ∃k∈IR, v→=ku→ donc
2=k ; 0=k ; 2=2k
Ou encore k=0 ; k=2 et k=1
et ce n'est pas possible donc
u→ et v→ ne sont pas colinéaires
donc (P) est bien un plan.
2) Equation du plan (P)=P(A;u→;v→)
Rappel M∈(P)⇔ det(AM→;u→;v→)=0.
M(x;y;z)∈P ⇔ det(AM→;u→;v→)=0
| ⇔ | x-2 | 1 | 2 | =0 |
| y+1 | 1 | 0 | ||
| z-1 | 2 | 2 |
⇔(x-2)(2-0)-(y+1)(2-4)+(z-1)(0-2)=0
⇔ 2x+2y-2z=0
ainsi x+y-z=0 est une équation cartésienne du plan (P).
Exercice 2 tp
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère dans l'espace une droite (D) définie par des équations suivantes
| x-3 | = | y+1 | = | z-3 |
| 3 | -2 | 2 |
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D).
2) Soit (Δ) une droite définie par des équations suivantes
| { | x-y-z+2=0 |
| 3x+y+2z-3=0 |
Etudier la position relative de (D) et (Δ).
Correction
1) (D) est définie par un point A(3;-1;3) et de vecteur directeur u(3;-2;2)
donc le système suivant
| (D) | x=3+3t | (t∈ℝ) |
| y = -1-2t | ||
| z = 3+2t |
est une représentation paramétrique de (D).
2) B(x;y;z)∈(D)∩(Δ) signifie (x;y;z) vérifie les deux systèmes précédents.
| { | x-y-z+2 = 0 | (t∈ℝ) |
| 3x+y+2z-3 = 0 | ||
| x = 3+3t | ||
| y = -1-2t | ||
| z = 3+2t |
on remplace les valeurs de x; y ;z des équations respectives (3); (4) et (5) dans (1) et (2)
(1): (3+3t)-(-1-2t)-(3+2t)+2=0
Ou encore 3t+3=0 ou encore t=-1
on vérifie si on obtient la même valeur de t ! sinon elle sont disjointes.
(2): 3(3+3t)+4(-1-2t)-(3+2t)-3=0
ou encore -t-1=0 ou encore t=-1
donc c'est bien t=-1 alors
| x = 3-3 = 0 | |
| y =- 1+2 = 1 | |
| z = 3-2 = 1 |
(D)∩(Δ)={B(0;1;1)}.