Espace analytique (4)
Exercice 1 tp
L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→;k→). On considère dans 𝔼 les points A(1;0;2); B(1;1;2) et C(-1;1;1).
1) Montrer que A; B; C ne sont pas alignés.
2) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
3) On considère deux plans
(P): 2x+y+2z+1=0.
(Q): x-2y+4z=0.
(a) Montrer que (P) et (Q) se coupent selon une droite qui doit être déterminée.
(b) Etudier la position relative du plan (ABC) et la droite (D).
Correction
1) AB→(0;1;0) et AC→(-2;1;-1) sont ils colinéaires ?
c'est à dire existe il un réel k tel que
AC→=kAB→
ou encore -2=0k ; 1=1k et -1=0k ?
ou encore -2=0 ; k=1 et -1=0
et ce n'est pas possible
donc AB→ et AC→ ne sont pas colinéaires.
Et donc les points A; B et C ne sont pas alignés.
2) A; B et C ne sont pas alignés donc ils déterminent un plan (ABC)
M(x;y;z)∈(ABC)⇔det(AM→;AB→;AC→)=0.
x-1 | 0 | -2 | = 0 | ||
y-0 | 1 | 1 | |||
z-2 | 0 | -1 |
⇔ (x-1) | 1 | 1 | -(y) | 0 | -2 | ||
0 | -1 | 0 | -1 |
+(z-2) | 0 | -2 | |
1 | 1 |
=-(x-1)-0(y)+2(z-2)=0
alors l'équation cartésienne du plan (ABC) est définie comme suit
x-2z+3=0.
3) (a) on a
(P): 2x+y+2z+1=0 et
(Q): x-2y+4z=0
u→(2;1;2) est un vecteur normal à (P).
v→(1;-2;4) est un vecteur normal à Q.
Existe il un réel k tel que u→=kv→ ?
(2=1.k ; 1=-2k et 2=4k)
⇔ (k=2 ; k=-1÷2=-0,5 et k=0,5)
et ce n'est pas possible
donc u→ et v→ ne sont pas colinéaires
ainsi (P) et (Q) sont sécants et se coupent selon une droite (D).
Pour déterminer (D) on fait comme suit
M(x;y;z)∈(D)⇔
{ | 2x+y+2z+1=0 |
x-2y+4z=0 |
⇔ { | 2x+2y+4z+2=0 | (1) |
x-2y+4z=0 | (2) |
pour éliminer z on fait l'opération suivante
(1)-(2) ⇒ x+4y+2=0.
pour éliminer y on fait l'opération suivante
(1)+(2) ⇒ 3x+8z+2=0.
En posant x=t∈IR dans le système
⇔ { | x+4y+2=0 | (3) |
3x+8z+2=0 | (4) |
on obtient
{ | x = | t | (t∈IR) | |||
y = | -1 | - | 1 | t | ||
2 | 4 | |||||
z = | -1 | - | 3 | t | ||
4 | 8 |
Ce système est une représentation paramétrique de la droite (D).
(b) Position relative du plan (ABC) et la droite (D).
{ | x-2z+3=0 | (1) | (t∈IR) | |||
x = | t | |||||
y = | -1 | - | 1 | t | ||
2 | 4 | |||||
z = | -1 | - | 3 | t | ||
4 | 8 |
(ABC)∩(D)={K(-2 ; 0 ; | 1 | )} |
2 |