Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Déterminer D le domaine de définition de f et calculer la limite de f en +∞.
2) (a) Déterminer une direction asymptotique (Δ) à la courbe (C)
(b) Etudier les positions relatives de la droite (Δ) et la courbe (C).

3) Montrer que (C) admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse -2.
4) (a) Montrer que (∀x∈D\{-2})

(b) Déduire les variations de f et tracer son tableau de variations.
5) (a) Tracer la courbe (C).
(b) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0 et donner un encadrement de la solution.
(c) Déduire le signe de la fonction f.

Correction

1) D={x∈IR/ x+2≥0}=[-2;+∞[

ainsi la courbe (C) admet une branche parabolique de direction la droite

(b) Positions relatives de (C) et (Δ)

Signe de -1+√(x+2).
-1+√(x+2)≥0 ⇔√(x+2) ≥ 1
⇔ x+2 ≥ 1 ⇔ x ≥ -1
donc (C) est au-dessus de (Δ) sur [-1;+∞[ et (C) est au-dessous sur [-2;-1].
3) Dérivation en -2⁺
on a f(-2)=-2

et cela signifie que f n'est pas dérivable au point -2 et de plus (C) admet une demi-tangente verticle au point d'abscisse -2.

4) (a) La fonction x→x+2 est un polynôme donc dérivable sur IR et en particulier sur l'intervalle I=]-2;+∞[ et de plus elle est strictement positive sur I donc la fonction x→√(x+2) est dérivable sur I=]-2;+∞[.
La fonction

est un polynôme donc dérivable sur IR et en particulier sur l'intervalle I=]-2;+∞[
ainsi la fonction f est dérivable sur I.

Soit x∈I

(b) (∀x∈D\{-2}): √(x+2)>0 donc f'(x)>0 donc f est strictement croissante sur D.

5) (a) la courbe (C)

(b) La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point donc l'équation f(x)=0 admet une seule solution, notée a avec -1<a<0.
(c) La courbe (C) est au-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle [-2;a] et au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [a;+∞]
ainsi f est positive sur [a;+∞.
et négative sur l'intervalle [-2;a].