دراسة دوال عددية (2)
2 تقعر دالة ونقط انعطاف
2.1 تقعر منحنى دالة
2.1.1 تعريف
لتكن f دالة عددية قابلة للاشتقاق على I و (C) المنحنى الممثل لها في معلم
اذا كان المنحنى (C) فوق جميع مماساته على المجال I فان المنحنى
Cf محدبا على المجال I
(تقعره موجه نحو الاراتيب الموجبة)
واذا كان المنحنى (C) تحت جميع مماساته على المجال I فان المنحنى
(C) مقعرا على المجال I
(تقعره موجه نحو الاراتيب السالبة)
2.1.2 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=x³
لدينا f حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
والمنحنى (C) يوجد فوق جميع مماساته على IR+ , نقول اذن المنحنى (C)
محدبا على IR+
والمنحنى (C) يوجد تحت جميع مماساته على IR- , نقول اذن المنحنى (C)
مقعرا على IR-
تمرين
ماذا يمكن القول عن تقعر المنحنى (Cg) بحيث g(x)= -x³ ?
2.2 نقطة الانعطاف
2.2.1 تعريف
لتكن f دالة عددية قابلة للاشتقاق على مجال I و a∈I
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم
نقول ان نقطة A(a;f(a)) نقطة انعطاف للمنحنى (C )اذا كان تقعر (C) يتغير في النقطة A
مثال
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي f(x)= x³, النقطة O نقطة انعطاف للمنحنى (C)
![](../img/ax32.png)
خاصيات
لتكن f دالة عددية قابلة للاشتقاق مرتين على مجال I و (C) منحناها في معلم (O;i→;j→)
اذا كان ∀x∈I : f"(x)≥0
فان المنحنى
(C) محدب
اذا كان ∀x∈I : f"(x)≤0
فان المنحنى
(C) مفعر
اذا كان ∀x∈I : f"(a)=0
و
f"
تغير اشارتها في a
فان
A(a;f(a)) نقطة انعطاف للمنحنى
3- عناصر تماثل منحنى دالة
3.1 الزوجية
3.1.1 خاصية
اذا كانت f دالة زوجية فان منحناها (C) مماثل بالنسبة لمحور الاراتيب
![](../img/paire.png)
3.1.2 خاصية
اذا كانت f دالة زوجية فان منحناها (C) مماثل بالنسبة لاصل المعلم
3.2 الدورية
3.2.1 تذكير
نقول ان دالة f دورية دورها T اذا تحقق ما يلي
1) لكل x∈D لدينا x+T و x-T∈Df
2) لكل x∈D لدينا f(x+T)=f(x)
3.2.2 خاصية
اذا كانت f دالة دورية دورها T فانه يمكن دراستها على مجال سعته T ونرسم منحناها (C) في هذا المجال الذي سعته T ثم نتمم الرسم باستعمال الازاحة ذات المتجهة u→=Ti→
مثال
الدالتان cos و sin دوريتان ولهما نفس الدور يساوي
2π اذن يمكن دراستهما على مجال سعته
2π
فليكن [-π;π] او [0;2π] ..
![](../img/cos_sin.png)
3.3 محور تماثل
خاصية
لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و D مجموعة تعريفها
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
المستقيم (D) الذي معادلته x=a محور تماثل للمنحنى (C) اذا تحقق ما يلي
1) ليكن x∈D لدينا
2a-x∈D
2) ليكن x∈D لدينا f(2a-x)=f(x)
3.4 مركز تماثل
3.4.1 خاصية
لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و D مجموعة تعرفها و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
النقطة A(a;b) مركز تماثل للمنحنى (C)
اذا تحقق ما يلي
1) ليكن x∈D لدينا
2a-x∈D
2) ليكن x∈D لدينا f(2a-x)=2b-f(x)
3.4.2 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي
f(x)=x³-3x+1
بين ان A(0;1) مركز تماثل منحنى الدالة f
![](../img/fct7.png)
تمرين 1
لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي
f(x)=x³-3x
1) حدد مركز تماثل منحنى الدالة f
2) حدد مجال الدراسة المختصر للدالة f
3) ادرس رتابة الدالة وانشئ جدول تغيراتها
4) انشئ منخنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
تمرين 2
لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي
f(x)=x+1+ | 1 |
x |
2) حدد مقاربات الدالة f
3) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول التغيرات
4) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
تمرين 3
لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي
f(x)= | x²+x-1 |
2x-2 |
2) حدد مقاربات الدالة منحنى الدالة f
3) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول التغيرات
4) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
5) حل مبيانيا وجبريا المتراجحة f(x)≤0
تمرين 4
نعتبر الدالة f المعرفة ب
f(x)=2x-2 +√(x-1)
1) احسب نهايات الدالة f عند محداتها
ثم حدد اتجاه مقارب لمنحنى الدالة f
2) ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f في 1
ثم ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
3) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
تمرين 5
نعتبر الدالة f المعرفة ب
f(x)=x+ | 2 |
√(x-1) |
2) حل في IR المعادلة (x-1)√(x-1)-1=0
3) احسب f'(x) ثم ادرس اشارتها على مجموعة تعريفها وانشئ جدول تغيراتها
4) انشئ منحنى الدالة f في معلم متعامد ممنظم
5) حل حسب قيم العدد m المعادلة f(x)=m مبيانيا