Exercice 1 tp

On considère une fonction f définie par

et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Calculer les limites de f en +∞ et en 1.
2) Déterminer les asymptotes de (C).
2) Résoudre dans IR l'équation
(E): (x-1)√(x-1)+1=0.

3) Calculer f'(x) puis étudier son signe et tracer le tableau de variations de f.
4) Tracer la courbe (C).
5) Déduire graphiquement le signe de f.

Correction

1) D={x∈IR/ x-1≥0 et √(x-1)≠0} =]1;+∞[.
Limite en +∞. on a

+∞ + 0 = +∞ donc

Limite de f en 1⁺. On étude le signe de x-1 au voisinage de 1

On a donc

Donc

ainsi (C) admet une asymptote d'équation x=1.
On a

donc

Ainsi (C) admet une asymptote oblique d'équation y=x.
2) On résout dans D l'équation
(x-1)√(x-1)+1=0.
x>1 ⇒ x-1>0 ⇒ √(x-1)>0
donc (∀x>1) on a (x-1)√(x-1)+1>0
ainsi S=∅.
3) x→x-1 est strictement positive et dérivable sur D
donc x→ √(x-1) est dérivable sur D.

Ainsi la fonction

est dérivable sur D
et puisque x→x est dérivable sur IR et en particulier sur D alors f est dérivable sur D. Soit x∈D

ainsi

x>1⇔x-1>0 ⇔√(x-1)>0
donc (∀x∈D): f'(x)>0
et donc f est strictement croissante sur D.

Tableau de variations

4) La courbe (C)

5) La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point A(2;0).
La partie de la courbe (C) au dessus de l'axe des abscisses est l'ensemble des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle I=[2;+∞[.
La partie de la courbe (C) au dessous de l'axe des abscisses est l'ensemble des points dont les abscisses appartiennent à l'intervalle J=]1;2].

Donc f est postive sur l'intervalle I=[2;+∞[
et f est négative sur l'intervalle J=]1;2].