1.1.2 Fonction impaire

f est une fonction impaire si les deux conditions suivantes sont vérifiées
1) (∀x∈D): -x∈D.
2) (∀x∈D): f(-x)=-f(x).

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = x³+2x on a f est impaire.
Remarque Soit f une fonction impaire.
1) Chaque élément de D et son opposé appartiennent à D.

2) Chaque élément de D et son opposé ont des images opposées par f.
3) Si D n'est pas centré en 0 alors f n'est pas impaire.

Interprétation graphique
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère une fonction impaire f et C_f sa courbe représentative. Soit x∈D_f.
f(-x)=-f(x)⇒ M(x;f(x)) et M'(-x;-f(x)) sont deux points symétriques par rapport à l'origine.

Propriété
La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x³-3x. Montrer que f est impaire.

Correction

f est un polynôme donc D_f=IR
et donc (∀x∈IR): -x ∈IR.
Soit x∈IR on a f(-x)=(-x)³-3(-x)
=-x³+3x,(-x)³=-x³
f(-x)=-x³+3x=-(x³-3x)=-f(x)
ainsi f est impaire.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²+x+3.
Etudier la parité de f.

Correction

f est un polynôme donc D_f=IR
et donc (∀x∈IR): -x ∈IR.
Soit x∈IR on a f(-x)=(-x)²+(-x)+3 =x²-x+3.
Puisque f(-x)≠f(x) et f(-x)≠-f(x) alors f n'est ni paire ni impaire.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	2x
	x²-2

Montrer que f est impaire.

1.1.3 Fonction périodique

Soient f une fonction numérique et T∈IR^+*.
f est périodique de période T si
1) (∀x ∈D): x+T et x-T ∈D.
2) (∀x ∈D): f(x+T)=f(x).

Exemple
La fonction cosinus est périodique de période 2π car (∀x∈IR) on a (x+2π∈IR et x-2π∈IR) et (∀x∈IR) on a cos(x+2π)=cos(x).