Généralités sur les fonctions (3)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 4x |
| x²+1 |
1) Déterminer Df.
2) Montrer que f est impaire.
3) Est ce que -2 et 2 sont des extremums de f ?
4) Etudier les variations de f sur [0;1] et [1;+∞[ et déduire ses variations
sur ]-∞;-1] et [-1;0].
5) Tracer le tableau de variations de f.
Correction
1) D={x∈IR / x²+1≠0}
x²+1= 0 signifie que x²=-1 impossible
donc pour tout x∈IR on a x²+1≠0 ainsi D=IR.
2) D=IR donc pour tout x∈IR on a (-x)∈IR.
Soit x∈IR
| f(- x) = | 4(-x) |
| (-x)²+1 | |
| = | - 4x |
| x²+1 |
Donc f(-x) = - f(x) et cela signifie que f est impaire.
2) Soient x;y∈IR tel que x<y.
Signe de f(x)-f(y)
| f(x)-f(y) = | 4x | - | 4y |
| x²+1 | y²+1 |
| = | 4x(y²+1) - 4y(x²+1) |
| (x²+1)(y²+1) | |
| = | 4xy(y-x)+4(x-y) |
| (x²+1)(y²+1) |
| = | (y-x)(4xy-4) |
| (x²+1)(y²+1) |
puisque x < y alors y-x > 0
et (x²+1)(y²+1)>0 donc f(x)-f(y) est de signe de 4xy-4.
Soient x;y∈]0;1[
0<x<1 et 0<y<1
donc 0<xy<1 ou encore 0<4xy<4
ou encore -4<4xy-4<0
ainsi f(x)-f(y)<0
ou encore f(x)<f(y) et cela signifie que f
est strictement croissante sur [0;1].
Puisque f est impaire alors f est aussi strictement croissante sur [-1;0].
Soient x;y∈]1;+∞[
x>1 et y>1 donc xy>1
ou encore 4xy>4
ou encore 4xy-4>0
ainsi f(x)-f(y)>0
ou encore f(x)>f(y)
et cela signifie que f est strictement
décroissante sur [1;+∞[
et puisque f est impaire alors f est aussi strictement décroissante sur ]-∞;-1].
3) Tableau de variations de f
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | |||
| f | ↘ | -2 |
↗ |
2 | ↘ |
3) Est ce que -2 et 2 sont des extremums de f ?
(a) d'abord il faut connaitre s'il existe un réel a tel que f(a)=-2 ?
| f(x) = -2 ⇔ | 4x | = -2 |
| x²+1 |
⇔ 4x = -2(x²+1)
⇔ 2(x²+2x+1) = 0
⇔ 2(x+1)²=0
⇔ x+1=0
donc x=-1 ainsi f(-1)=-2.
Maintenant on étudie le signe de f(x)-f(-1).
| f(x) + 2 = | 4x | + 2 |
| x²+1 | ||
| = | 4x+2(x²+1) | |
| x²+1 | ||
| = | 2(x²+2x+1) | |
| x²+1 | ||
| = | 2(x+1)² | ≥ 0 |
| x²+1 |
Donc pour tout x∈IR, f(x) ≥ f(-1)=-2 et cela signifie que -2 est une valeur minimale de f en -1.
(b) De même pour le nombre 2
Existe t'il un réel a tel que f(a)=2 ?
| f(x) = 2 ⇔ | 4x | = 2 |
| x²+1 |
⇔ 4x = 2(x²+1)
⇔ 2(x²-2x+1) = 0
⇔ 2(x-1)²=0
⇔ x-1=0
Donc x=1 ainsi f(1)=2.
Maintenant on étudie le signe de f(x)-f(1).
| f(x) - 2 = | 4x | - 2 |
| x²+1 | ||
| = | 4x-2(x²+1) | |
| x²+1 | ||
| = | -2(x²-2x+1) | |
| x²+1 |
| = | -2(x-1)² | ≤ 0 |
| x²+1 |
donc f(x) - 2 ≤ 0
ainsi pour tout x∈IR, f(x) ≤ f(1)=2 et cela signifie que 2 est une valeur maximale de f en 1.