تمرين 15 tp

نعتبر الدالة f المعرفة كما يلي f(x)=√(x²+1)
1) ادرس زوجية الدالة f
2) ادرس رتابة الدالة f على IR+ ثم استنتج الرتابة على IR-

تصحيح

1) D=IR لان لكل x∈IR لدينا x²+1≥0
اذن لكل x∈IR لدينا (-x)∈IR
f(-x)=√((-x)²+1)=√(x²+1)=f(x)
وهذا يعني ان الدالة f زوجية
2) نلاحظ ان الدالة f هي مركب الدالتين r=√ و p:x→x²+1 و f=rop
Dr=IR+ ; Dp=IR ;p(IR)⊂IR+
لان ∀x∈IR, p(x)>0

الدالة p تزايدية على IR+ والدالة √ تزايدية كذلك على IR+ اذن المركب f هو كذلك تزايدي على IR+
وبما ان الدالة f زوجية وتزايدية على IR+ فهي اذن تناقصية على IR-

تمرين 16 tp

لتكن f دالة عددية معرفة ب f(x)=√(x+1)-√(x)
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة
2) (q1) بين ان f مصغورة بالعدد 0 على D
(q2) بين ان الدالة f تقبل قيمة قصوى عند 0 على D

تصحيح

1) D={x∈IR / x+1≥0 ∧ x≥0}
={x∈IR / x≥-1 ∧ x≥0}
-∞ --- (-1) --- 0 --- +∞
D=[0;+∞[
2) (q1) ∀x∈D: x+1> x
نعلم ان الدالة √ تزايدية قطعا على IR+
اذن √(x+1)> √(x) ⇒ √(x+1)-√(x)> 0
⇒ ∀x∈D: f(x)> 0
وهذا يعني ان الدالة f مصغورة بالعدد 0
(q2) نبين ان f(0)=1 قيمة قصوى للدالة f عند 0
f(x)-f(0)= √(x+1)-√(x) -1

f(x)-f(0)=	x+1-x	-1
	√(x+1)+√(x)
=	1	-1
	√(x+1)+√(x)

x≥0 ⇒√(x+1)+√(x)≥1

⇒	1	≤ 1
	√(x+1)+√(x)

⇒ f(x)≤f(0)
وهذا يعني ان f(0) قيمة قصوى للدالة f

تمرين 17 tp

لتكن دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=x²-4x+4
1) انشئ جدول تغيرات الدالة f
2) نعتبر الدالة g المعرفة كالتالي
g(x)= √(x²-4x+5)
(q1) بين ان الدالة g هي مركب الدالة f ودالة h ينبغي تحديدها
(q2) حدد تغيرات الدالة g

تصحيح

1) f دالة مرجعية -b÷(2a)=2 ; a=1>0
اذن f تزايدية قطعا على المجال [2;+∞[ وتناقصية قطعا على المجال ]-∞;2]

x	-∞			2			+∞
f		↘		0		↗

2) (q1) g(x)= √(x²-4x+5)
نلاحظ ان x²-4x+5=(x-2)²+1> 0 اذن Dg=IR
g(x)= √(x²-4x+4+1)
g(x)= √(f(x)+1)

نعتبر الدالة p المعرفة كالتالي p(x)=x+1
لدينا p(f(x))=f(x)+1 اذن
g(x)=√(p(f(x)))=(√op)of(x)
نضع √op=h وبالتالي g=hof ومعرفة على IR