5.2.2 النهاية عند ±∞

خاصية

اذا كانت p(x) حدودية من الدرجة n فان lim_x→+∞p(x)=lim_x→+∞(axⁿ)
lim_x→-∞p(x)=lim_x→+∞(axⁿ)

مثال

احسب lim_-∞-2x³+2x²+x-3

تصحيح

نطبق الخاصية السابقة
اذن lim_-∞f(x)=lim_-∞-2x³= +∞, ;
(-(-∞) =+∞)

تمرين

احسب lim_+∞(-x²+5x+3)(-2x³+x-3)

تصحيح

لدينا lim_+∞(-x²+5x+3)=lim_+∞(-x²)=-∞
و lim_+∞(-2x³+x-3)
=lim_+∞(-2x³)=-∞
وبما ان (-∞).(-∞)=+∞
lim_+∞(-x²+5x+3)(-2x³+x-3)=+∞ فان

5.2.3 خاصيات

لتكن p(x) حدودية من الدرجة n ,(axⁿ هو الحد اكبر درجة للحدودية p(x))
ولتكن q(x) حدودية من الدرجة m ,(bx^m هوالحد اكبر درجة للحدودية q(x))

lim +∞	p(x)	= lim +∞	axn
	q(x)		bxm
lim -∞	p(x)	= lim -∞	axn
	q(x)		bxm

تمرين

لتكن f و g دالتين عدديتين

f(x)	4x+3	; g(x)	3x-1
	7x-2		4x²+5x

احسب
lim_-∞f(x) ; lim_+∞g(x)

تصحيح

لدينا

lim-∞f(x)=	lim -∞	4x	=	4
		7x		7

لدينا

lim+∞g(x)=	lim +∞	3x
		4x²
=	lim +∞	3	=0
		4x

5.3 نهاية √(u)

5.3.1 خاصيات

لتكن u دالة عددية
1- اذا كانت lim_au(x)=L حيث L≥0 فان
lim_a√u(x)= √L
2- اذا كانت lim_au(x)=+∞ فان
lim_a√u(x)= +∞

ملاحظة

الخاصيات تبقى صحيحة عندما x تؤول الى a^± او الى ±∞

5.3.2 امثلة

1. lim_-2√(x²+x)=√(2)
لان lim_-2x²+x=4-2=2 ≥0
2. lim_+∞√(x²-3x+2)=+∞
لان lim_+∞x²-3x+2=lim_+∞x²=+∞

3)

lim -∞	√(	10x+1	)=√(5)
		2x-3

لان

lim -∞	10x+1	=lim -∞	10x	=5
	2x-3		2x

5.4 نهايات مثلثية

5.4.1 خاصيات

lim 0	sinx	=1	; lim 0	sinax	=1
	x			ax
lim 0	tanx	=1	; lim 0	tanax	=1
	x			ax

lim 0	1-cosx	=	1
	x²		2

5.5 النهايات والترتيب

5.5.1 خاصيات

1. اذا كانت f≥0 وتقبل نهاية في a (او ±∞) فان هذه النهاية موجبة
2. اذا كانت f≤0 وتقبل نهاية في a (او ±∞) فان هذه النهاية سالبة
3. اذا كانت f و g دالتين معرفتين على مجال I و k∈IR
بحيث ∀x∈I: |f(x)-L|≤g(x) و lim_ag(x)=0 فان lim_af(x)=L

5.5.2 خاصية

f ; g و h دوال معرفة على I

∀x∈I: g(x)≤f(x)≤h(x) و limag(x) = limah(x) ⇒ limaf(x) = limag(x) = limah(x)

∀x∈I: f(x)≤g(x) و limag(x) = -∞ ⇒ limaf(x) = -∞

∀x∈I: f(x)≥g(x) و limag(x) = +∞ ⇒ limaf(x) = +∞

الخاصيات تبقى صحيحة عند ±∞

تمرين 1

احسب النهايات التالية 1) lim_-∞2x+√(x²+1)
2) lim_+∞-5x+√(7x²+2)

تصحيح

1) نضع f(x)=2x+√(x²+1)
نفكر في التعميل او المرافق

lim-∞f(x)=lim-∞2x+√(x²(1+	1	))
	x²

نعلم ان √(x²)=|x| وبما ان x يؤول الى -∞ فان x سالب اذن √(x²)=-x

lim-∞f(x)=lim-∞2x+x√(1+	1	)
	x²

وبما ان

lim-∞√(1+	1	)=1
	x²

فان lim_+∞f(x)=-∞.(2-1)=-∞
2) نضع g(x)=-5x+√(7x²+2)
نفكر في التعميل او المرافق

lim+∞g(x)=lim+∞-5x+√(x²(7+	2	))
	x²

نعلم ان √(x²)=|x| وبما ان x يؤول الى +∞ فان x موجب اذن √(x²)=x

lim+∞g(x)=lim+∞-5x+x√(7+	2	)
	x²

تتمة هنا ..

تمرين 2

احسب النهايات التالية
lim_+∞x²-x-√(x²-2)
lim_-∞2x²+√(x²+2x+2)
lim_-∞(√(x²-1)-√(2x²+x))

تمرين 3

احسب النهايات التالية

lim π/4	-1+sin2x	; lim 0	-2sinx+sin2x
	x-π/4		x³

تمرين 4

احسب النهايات التالية

lim 1	√(2x²+1) -x√(3)	; lim -∞	2x+√(x²-1)
	x-1		x
lim 1	2x+√(x)-3	; lim -1-	x+1
	x-1		x+2√(x)+1