Limite d'une fonction (7)
5- Opérations sur les limites
5.1 Propriétés
Propriétés 1
Soient f et g deux fonctions qui admettent des limites finies en a et k∈IR.
lim a | f(x)+g(x) | = | lim a | f(x)+ | lim a | g(x) |
lim a | f(x)g(x) | = | lim a | f(x) × | lim a | g(x) |
lim a | kf(x) = k | lim a | f(x) |
| Si | lim a |
g(x)≠0 | alors |
lim a |
f(x) | = | lim a |
f(x) |
| g(x) | lim a | g(x) |
Exemples
1) Soit f une fonction définie par f(x)=2x+√(x).
lim 4 |
f(x) | = | lim 4 |
2x | + | lim 4 |
√(x) |
| donc | lim 4 |
f(x) = 2.4+2 =10 |
2) Soit g une fonction définie par
g(x)=-4x(1+√(x)).
lim 1 |
g(x) = -4( | lim 1 |
x | × | lim 1 |
1+√(x)) |
| donc | lim 1 |
g(x) = -4.1(1+1) = -8 |
Exercice 1 tp
Calculer la limite suivante
lim 4 |
-3+√x |
| x |
Correction
lim 4 |
-3+√x | = | lim 4 |
-3+√x |
| x | lim 4 | x |
donc
lim 4 |
-3+√x | = | -1 |
| x | 4 |
5.1.2 Propriétés 2
Limite de la somme
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
(f(x)+g(x)) | ||
| L | L' | L+L' | |||||
| L | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | +∞ | +∞ | |||||
| -∞ | -∞ | -∞ | |||||
| +∞ | -∞ | ╳ | |||||
| -∞ | +∞ | ╳ | |||||
Limite du produit
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
(f(x).g(x)) | ||
| L< 0 | -∞ | +∞ | |||||
| L > 0 | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | -∞ | -∞ | |||||
| 0 | +∞ | ╳ | |||||
| -∞ | -∞ | +∞ | |||||
Limite du quotient
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
f(x) | ||
| g(x) | |||||||
| L > 0 | 0+ | +∞ | |||||
| L > 0 | 0- | -∞ | |||||
| +∞ | +∞ | ╳ | |||||
| +∞ | 0+ | +∞ | |||||
| 0 | 0 | ╳ | |||||
╳ signifie Forme indéterminée.
Les propriétés restent vraies en
±∞.