Limite d'une fonction (9)
Exercice 1 tp
Calculer
lim 1 | x³-3x+2 |
| x-1 |
Correction
On pose p(x)=x³-3x+2.
p(1)=0 donc le polynôme p(x) est divisible par x-1
il existe donc un polynôme q(x) de degré 2 tel que p(x)=(x-1)q(x).
En effectant la division euclidienne de p(x) par x-1
| x³ | +0x² | -3x | +2 | x-1 | ||
| -x³ | +x² | x²+x-2 | ||||
| 0 | +x² | -3x | +2 | |||
| -x² | +x | |||||
| 0 | -2x | +2 | ||||
| 0 | +2x | -2 | ||||
| 0 | 0 |
On obtient p(x)=(x-1)(x²+x-2).
lim 1 |
x³-3x+2 | = | lim 1 |
(x-1)(x²+x-2) |
| x-1 | x-1 | |||
lim 1 |
x³-3x+2 | = | lim 1 |
(x²+x-2) = 0 |
| x-1 |
5.3 Limites de √(u)
5.3.1 Propriétés
Soit u une fonction numérique
| 1) Si | lim a |
u(x) = L (L≥0) |
| alors | lim a |
√(u(x)) = √(L) |
| 2) Si | lim a |
u(x) = +∞ |
| alors | lim a |
√(u(x)) = +∞ |
Notons que les propriétés restent vraies quand x tend vers a± ou ±∞.
5.3.2 Exemples 1
lim -2 |
√(x²+x) = √(2) |
lim 3 |
√(-4x+17) = √(5) |
lim +∞ |
(x²-3x+2) = | lim +∞ |
x² = +∞ |
Donc
lim +∞ | √((x²-3x+2) = +∞ |
On a
lim -∞ |
10x+1 | = | lim -∞ |
10x | = | 5 |
| 2x-3 | 2x |
lim -∞ |
10x+1 | = | 5 |
| 2x-3 |
| donc | lim -∞ |
√( | 10x+1 | ) = √(5) |
| 2x-3 |
5.3.3 Exemple 2
lim +∞ | 2x-√(x) |
2(+∞)-∞ est une forme indéterminée
lim +∞ |
2x-√(x) | = | lim +∞ |
x(2- | √(x) | ) |
| x |
| = | lim +∞ |
x(2- | 1 | ) |
| √(x) |
| puisque | lim +∞ |
1 | ) = 0 |
| √(x) |
donc
lim +∞ |
2x-√(x) = +∞(2-0) = +∞ |