مبادئ في المنطق (6)
3.2.5 الاستدلال بالترجع
مثال
نعتبر الخاصية p(n) المعرفة كما يلي
(n∈IN): 2n≥n+1.
1) حدد p(0).
2) حدد p(n+1).
3) بين أن اذا p(n) صحيحة فان p(n+1) أيضا صحيحة.
مبدأ الترجع
ليكن n0∈IN و p(n) خاصية مرتبطة بعدد طبيعي n
اذا تحققت الشروط التالية
(1) p(n0) صحيحة
(2) اذا كانت p(n) صحيحة فان p(n+1) كذلك صحيحة
نستنتج اذن ان الخاصية p(n) صحيحة لكل n≥n0.
تمرين 1 tp
ليكن a∈IR+.
بين أن (∀n∈IN): (1+a)n≥1+na.
تصحيح
نبين بالترجع ان الخاصية (∀n∈IN)
(a∈IR+): (1+a)n≥1+na صحيحة
توجد ثلاث مراحل للاجابة عن هذا السؤال.
أ) نتحقق من الخاصية من اجل n=0 لان n يبدأ من الصفر ∀n∈IN
(1+a)0=1 لان
1+a≠0 اذن
(1+a)0=1=1+0.a
وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n=0
ب) نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1.
يعني نبين ان (1+a)n+1≥1+(n+1)a
ماذا يعني هذا؟ يعني نعتبر وضعية صحيحة في مرحلة ما ونبرهن اذا كانت صحيحة في المرحلة الموالية
لدينا اذن (1+a)n+1=(1+a).(1+a)n
وحسب الافتراض (1+a)n≥1+na.
اذا ضربنا طرفي المتفاوتة بعدد موجب طرفا طرفا المتفاوتة لا تتغير اذن
(1+a).(1+a)n≥(1+a)(1+na)
⇔(1+a)n+1≥1+na+a+na²
⇔(1+a)n+1≥1+a(n+1)+na²
na²> 0 اذن
1+a(n+1)+na²> 1+(n+1)a ومنه فان
(1+a)n+1≥1+a(n+1)
وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
ج) نستنتج اذن ان (∀n∈IN) (a∈IR+): (1+a)n≥1+na صحيحة.
تمرين 2 tp
بين ان ∀n∈IN*
| 1+2+...+n = | n(n+1) |
| 2 |