3.2.5 Raisonnement par récurrence

Exemple
On considère la propriété p(n) définie par
(n∈IN): 2ⁿ≥n+1.
1) Déterminer p(0).
2) Déterminer la proposition p(n+1).
3) Montrer que si p(n) est vraie alors p(n+1) est aussi vraie.

Principe de récurrence
Soient n₀∈IN et p(n) une propriété liée à un entier naturel n.
Si les deux conditions suivantes sont vraies
1) p(n₀) est vraie.
2) Si p(n) est vraie alors p(n+1) est aussi vraie.
alors (∀n≥n₀): p(n) est vraie.

Exercice 1

Soit a∈IR⁺.
Montrer (∀n∈IN): (1+a)ⁿ≥1+na.

Correction

On considère la propriété P(n): (∀n∈IN): (1+a)ⁿ≥1+na.
Il y a 3 étapes pour répondre à cette question
1) On vérifie que P(n) est vraie pour n=0 car le rang commence à 0 (n∈IN).

(1+a)⁰=1 car 1+a≠0
donc (1+a)⁰=1=1+0.a et cela signifie que P(n) est vraie pour n=0.
2) On suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire (1+a)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)a.
On a (1+a)ⁿ⁺¹=(1+a).(1+a)ⁿ
d'après la supposition (1+a)ⁿ≥1+na.

Rappel
Si on multiplie deux membres d'une inégalité par un même nombre positif et non nul l'inégalité ne change pas.

(1+a).(1+a)ⁿ≥(1+a)(1+na)
⇔(1+a)ⁿ⁺¹≥1+na+a+na²
⇔(1+a)ⁿ⁺¹≥1+a(n+1)+na² (na²> 0)
donc 1+a(n+1)+na²> 1+(n+1)a
ainsi (1+a)ⁿ⁺¹≥1+a(n+1)
et cela signifie que la propriété est vraie pour n+1.
3) on déduit donc
(∀n∈IN): (1+a)ⁿ≥1+na est vraie.

Exercice 2

Montrer que (∀n∈IN*)