Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ les points A(3;1) ; B(1;3) et C(1;1).
1) Calculer cos(AB^→ ; AC^→)
et sin(AB^→ ; AC^→).
2) Déduire une mesure de l'angle
(AB ; AC).

Correction

1) On a AB^→(-2;2) et AC^→(-2;0)
donc AB^→.AC^→=4 et det(AB^→;AC^→)=-4
et on a AB=√(4+4)=2√2 et AC=2 donc

On a

Exercice 2 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère deux vecteurs u^→=2i^→+j^→ et v^→=5i^→-4j^→.
Déterminer cos(u^→;v^→) et sin(u^→;v^→).

Exercice 3 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Déterminer un vecteur normal à une droite (D) de vecteur directeur u^→(2;3).

Correction

Rappel u^→(a;b) est un vecteur directeur de (D) équivaut à n^→(-b;a) est un vecteur normal à (D).
u^→(2;3) est un vecteur directeur de (D) donc n^→(-3;2) est un vecteur normal à (D).

Exercice 4 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙdeux droites (D): 3x+y-3=0
et (D'): 4x-12y+1=0.
Montrer que (D)⊥(D').

Correction

n^→(3;1) est un vecteur directeur de (D)
et n'^→(4;-12) est un vecteur normal à (D').
donc n^→.n'^→=3×4 + 1×(-12)=12-12=0
et cela signifie que (D)⊥(D').

Exercice 5 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Déterminer une équation cartésienne d'un cercle (C) de centre Ω(2;-1) et de rayon 3.

Correction

M(x;y)∈C ⇔ ΩM =3 ⇔ (x-2)²+(y+1)²=9
⇔ x²+y²-4x+2y+1=0
donc x²+y²-4x+2y+1=0 est une équation du cercle (C).