عموميات حول المتتاليات (1)
1- المتتاليات العددية
1.1 تعريف واصطلاحات
1.1.1 تعريف
I هي مجموعة من عناصر المجموعة IN التي اكبر او تساوي عدد طبيعي p
المتتالية العددية هي دالة عددية او تطبيق معرف على I, ونرمز لها ب (un)n≥p او (un)n∈I ...
1.1.2 اصطلاحات
العدد un هو الحد العام للمتتالية (un)n∈I
والعدد up هو الحد الاول للمتتاية
1.1.3 مثال 1:
نعتبر متتالية عددية معرفة كما يلي
∀n≥1 : un= 1+ 2n
احسب الحد الثاني والثالث للمتتالية
تصحيح
الحد الاول هو u1= 1+2.1=3 , اذن u1=3
الحد الثالث هو u3= 1+2.3=7 , اذن u3=7
1.1.4 مثال 2:
(un)n≥0
متتالية عددية معرفة كما يلي
∀n≥0 : un=n²+3n-5
حدد الحد الاول والثاني والثالث
تصحيح
لاحظ ان الترقيم (مدل indice ) يبدأ ب 0 (مهم جدا )
اذن الحد الاول ليش u1, بل u0
u0=0+3×0-5=-5 , اذن الحد الاول هو u0=-5
الحد الثاني
u1=1²+3×1-5=-1, اذن u1=-1
الحد الثالث
u2=2²+3×2-5=5, اذن u2=5
1.2 المتتاليات الترجعية
1.2.1 تعريف
المتتالية الترجعية هي متتالية بحيث كل حد منها مرتبط بالحد او الحدود السابقة
1.2.2 مثال
لتكن (un) متتالية عددية معرفة كما يلي
un+1=2un+7 من اجل n∈IN و u0=3
احسب الحد الثاني والثلث والخامس
تصحيح
لدينا الحد الاول هو u0=3
1) الحد الثاني اذن
u1=u0+1
=2u0+7 =2.3+7=13
ومنه فان u1=13
2) الحد الثالث
u2=u1+1
=2u1+7=2.13+7
اذن u2=33
3) الحد الخامس
u4=u3+1
=2u3+7=?
ليس لدينا الحد الرابع , اذن نحسبه
u3=u2+1
=2u2+7=2.33+7
اذن الحد الرابع u3=73
ومنه فان الحد الخامس
u4=2.73+7=153
تمرين
لتكن (vn)n≥1 متتالية عددية معرفة كما يلي
vn+1=v²n+1 حيث n≥1 و v1=1
احسب الحد الثاني والثالث لهده المتتالية
تمرين 1
(un) متتالية عددية معرفة كما يلي :
un+1 =2un + 1 و u0 = 3
احسب الحد الثاني والثالث لهده المتتالية
2- المتتاليات المحدودة
2.1 المتتالية المكبورة
2.1.1 تعريف
نقول ان متتالية (un)n≥p مكبورة اذا
∃M∈IR, ∀n≥p: un≤M
2.1.2 مثال
لتكن (un) متتالية عددية معرفة كما يلي:
un=-n²+3, n∈IN
بين ان : ∀n ∈IN: un≤3
تصحيح
لدينا ∀n∈IN, -n²≤0 اذن -n²+3≤3
اي un≤ وهذا يعني ان (un) مكبورة ب 3
2.2 المتتالية المصغورة
2.2.1 تعريف:
نقول ان متتالية (un)n≥p مصغورة اذا
∃m∈IR, ∀n≥p: un≥m
2.2.2 مثال
لتكن (un) متتالية عددية معرفة كما يلي:
un=2n²+5, n∈IN
بين ان : ∀n ∈IN: un≥5
تصحيح
لدينا ∀n∈IN, 2n²≥0 اذن
2n²+5≥5
اي un≥5 وهذا يعني (un) مصغورة ب 5.
2.3 المتتالية المحدودة
2.3.1 تعريف
نقول ان متتالية (un)n≥p محدودة
اذا كانت مكبورة ومصغورة
بتعبير آخر:
(un)n≥p⇔
∃m; M∈IR, ∀n≥p: m≤un≤M
2.3.2 مثال
لتكن (un) متتالية عددية معرفة كما يلي :
un+1=√(un+2), n∈IN و u0= 7
بين ان : ∀n ∈IN: 0≤un≤7
تصحيح
ببين بالترجع الخاصية
∀n ∈IN: 0≤un≤7
1) من اجل n=0 لدينا u0=7 اذن
0≤u0≤7 ومنه فان الخاصية صحيحة من اجل n=0
2) نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n
لدينا اذن
0≤un≤7 اي
2≤un+2≤7+2
اي √(2)≤√(un+2)≤3
وبما ان √(2)>0 و
3< 7 فان
0≤un+1≤7 وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
3) نستنتج اذن ان الخاصية صحيحة لكل n∈IN
∀n ∈IN: 0≤un≤7 وهذا يعني ان المتتالية محدودة
2.3.3 خاصية
(un)n≥p محدودة ⇔ (∃α∈IR*+)∀n ≥p: |un|≤α
تمرين
(un)n≥0 متتالية عددية:
un+1 = √(0,5(un+ 3)), n∈N و u0 = 1
1) احسب u1
2) بين بالترجع :
∀ n∈N : 1≤un≤1,5
تصحيح
1) لدينا : u1=√(0,5(u0+3))
=√(0,5(1+3))
اذن u1=√(2)
2) نبين بالترجع ان الخاصية التالية صحيحة:
∀n ∈IN: 1≤un≤1,5
من اجل n=0, u0=1 و
1≤1≤1,5 اذن الخاصية صحيحة من اجل n=0
نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n;
لدينا اذن
1≤un≤1,5 اي
4≤un+3≤4,5
اي
2≤(0,5)(un+3)≤2,25
ومنه فان √(2)≤√[(0,5)(un+3)]≤1,5
وبما ان √(2)>1 فان
1≤√(2)≤un+1≤1,5
وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
اذن الخاصية صحيحة لكل n∈IN, :
∀n∈IN: 1≤un≤1,5 وهذا يعني ان المتتالية (un) محدودة