1- Suites numériques

1.1 Définition et Vocabulaires

1.1.1 Définition

Soit I l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à un certain entier naturel p.
Une suite numérique est une application définie sur I et est notée (u_n)_n≥p ou (u_n)_n∈I ..

1.1.2 Vocabulaires

La suite (u_n)_n≥p est de terme général u_n et de premier terme u_p.

1.1.3 Exemple 1

Soit (u_n)_n≥1 une suite définie par
(∀n≥1): u_n= 1+ 2n.
Déterminer le 1er ; le 4ième et le 7ième terme de la suite (u_n)_n≥1.

Correction
Le 1er terme u₁ = 1+2.1=3
donc u₁=3.
Le 4ième terme u₄ = 1+2.4=9
donc u₃=9.
Le 7ième terme u₇ = 1+2.7=15
donc u₇=15.

1.1.4 Exemple 2

Soit (u_n)_n≥0 une suite définie par
(∀n≥0): u_n=n²+4n-5.
Déterminer le 1er ; le 2ième et le 3ième terme de la suite (u_n).

Correction
Notons que l'indice commence à 0 (important).
Le 1er terme n'est pas u₁ mais plutot u₀
u₀=0+4×0-5=-5 donc u₀=-5.

Le 2ième terme est
u₁=1²+4×1-5=0 donc u₁=0.
Le 3ième terme
u₂=2²+4×2-5=7
donc u₂=7.

1.2 Suites récurrentes

1.2.1 Définition

Une suite est récurrente si chacun de ces termes est lié aux précédents.

1.2.2 Exemple

Soit (u_n) une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n-7 pour n∈IN et u₀=4.
Calculer le 2ième ; le 3ième et le 5ième terme de la suite (u_n).

Correction

Le premier terme u₀=4.
1) Le deuxième terme est donc
u₁=u₀₊₁=2u₀-5
=2.4-7=1
donc u₁=1.
2) le troisième terme
u₂=u₁₊₁=2u₁-3
=2.1-7
donc u₂=-5.

3) le 5ième terme
u₄=u₃₊₁=2u₃-7
on calcule u₃
u₃=u₂₊₁=2u₂-7
=2.(-5)-7=-17
donc u₄=2.(-17)-7
ainsi u₄=-41.