Généralités sur les suites (3)
2- Suites bornées
2.1 Suite majorée
2.1.1 Définition
On dit qu'une suite (un)n≥p est majorée
si (∃M∈IR)(∀n≥p): un≤M.
2.1.2 Exemple
Soit (un) une suite numérique définie par
(∀n∈IN): un=-n²+3.
Montrer que (∀n ∈IN): un≤3.
Correction
(∀n∈IN): -n²≤0
donc -n²+3≤3 ou encore un≤3
ainsi (un) est majorée par 3.
2.2 Suite minorée
2.2.1 Définition
On dit qu'une suite (un)n≥p est minorée
si (∃m∈IR)(∀n≥p): un≥m.
2.2.2 Exemple
Soit (un) une suite numérique définie par
(∀n∈IN): un=2n²+5.
Montrer que (∀n∈IN): un≥5.
Correction
On a (∀n∈IN): 2n²≥0
donc 2n²+5≥5 ou encore un≥5
et cela signifie que la suite (un) est minorée par 5.
2.3 Suite bornée
2.3.1 Définition
Une suite (un)n≥p est bornée
si elle est majorée et minorée.
En d'autre terme
(un)n≥p est bornée⇔
(∃m;M∈IR)(∀n≥p): m≤un≤M.
2.3.2 Exemple
Soit (un) une suite numérique définie par
un+1=√(un+2) avec n∈IN et u0=7.
Montrer que (∀n∈IN): 0≤un≤7.
Correction
On montre par récurrence la propriété
P(n): (∀n ∈IN): 0≤un≤7.
1) Pour n=0 on a u0=7 donc 0≤u0≤7
ainsi P(n) est vraie pour n=0.
2) On suppose que P(n) est vrai pour n
on a donc 0≤un≤7 ou encore 2≤un+2≤7+2
ou encore √(2)≤√(un+2)≤3
or √(2)>0 et 3< 7 alors 0≤un+1≤7
donc P(n) est vraie pour n+1.
3) On déduit donc que P(n) est vraie pour tout n∈IN.
(∀n∈IN): 0≤un≤7
et cela signifie que la suite (un) est bornée.
2.3.3 Propriété
Soit (un)n≥p une suite numérique.
(un)n≥p est bornée
⇔ (∃α∈IR+*)(∀n≥p): |un|≤α.