تمرين 1 tp

لتكن (v_n)_n≥1 متتالية عددية معرفة كما يلي
v_n+1=v²_n+1 حيث n≥1 و v₁=1
احسب الحد الثاني والثالث لهده المتتالية.

تمرين 2 tp

(u_n) متتالية عددية معرفة كما يلي :
u_n+1 =2u_n + 1 و u₀ = 3
احسب الحد الثاني والثالث لهده المتتالية

تمرين 3 tp

لتكن (u_n) متتالية عددية معرفة كما يلي :
u_n+1=√(u_n+2), n∈IN و u₀= 7
بين ان : ∀n ∈IN: 0≤u_n≤7

تصحيح

ببين بالترجع الخاصية
∀n ∈IN: 0≤u_n≤7
1) من اجل n=0 لدينا u₀=7 اذن 0≤u₀≤7 ومنه فان الخاصية صحيحة من اجل n=0
2) نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n
لدينا اذن 0≤u_n≤7 اي 2≤u_n+2≤7+2
اي √(2)≤√(u_n+2)≤3

وبما ان √(2)>0 و 3< 7 فان 0≤u_n+1≤7 وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
3) نستنتج اذن ان الخاصية صحيحة لكل n∈IN
∀n ∈IN: 0≤u_n≤7 وهذا يعني ان المتتالية محدودة

تمرين 4 tp

(u_n)_n≥0 متتالية عددية:
u_n+1 = √(0,5(u_n+ 3)), n∈N و u₀ = 1
1) احسب u₁
2) بين بالترجع :
∀ n∈N : 1≤u_n≤1,5

تصحيح

1) لدينا : u₁=√(0,5(u₀+3))
=√(0,5(1+3))
اذن u₁=√(2)

2) نبين بالترجع ان الخاصية التالية صحيحة
∀n ∈IN: 1≤u_n≤1,5
من اجل n=0 لدينا u₀=1 و 1≤1≤1,5 اذن الخاصية صحيحة من اجل n=0
نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n
لدينا اذن 1≤u_n≤1,5 اي 4≤u_n+3≤4,5
اي 2≤(0,5)(u_n+3)≤2,25
ومنه فان √(2)≤√[(0,5)(u_n+3)]≤1,5
وبما ان √(2)>1 فان 1≤√(2)≤u_n+1≤1,5
وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
اذن الخاصية صحيحة لكل n∈IN, :
∀n∈IN: 1≤u_n≤1,5 وهذا يعني ان المتتالية (u_n) محدودة

تمرين 5 tp

ادرس رتابة المتتالية (u_n):
u_n= 3- n + 2ⁿ

تمرين 6 tp

لتكن (u_n) متتالية حسابية حدها الاول u₀=7 واساسها 4
احسب u₂₀₂₁

تصحيح

(u_n) هي متتالية حسابية اذن
u_n=u₀+nr
اي u₂₀₂₁=7+2021.4=4091
اذن u₂₀₂₁=4091

تمرين 7 tp

لتكن (u_n) متتالية حسابية بحيث u₂₅=1000 و u₃₀=1250
احسب اساس هذه المتتالية

تصحيح

نعلم ان u_n=u_p+(n-p)r

اذن u₃₀= u₂₅+(30-25)r
= u₂₅+5r
1250=1000+5r ⇔ 5r=1250-1000
⇔ 5r=250
اذن r=50

تمرين 8 tp

(u_n)_n≥2 متتالية حسابية اساسها 5 و u₂=3
احسب S=u₂+u₃+..+u₂₁

تصحيح

1) عدد الحدود هو 21-2+1=20 حد متتابع
2) نحسب u₂₁:
u_n=u_p+(n-p).r اذن
u₂₁=u₂+(21-2).r
=3+19.5=3+95=98
ومنه فان u₂₁=98

3) نطبق الخاصية السابقة

=10(3+98)=1010
S=1010