تمرين 19 tp

(u_n)_n∈IN متتالية عددية
u_n+1=2u_n+1, n∈IN وحدها الاول هو u_{0=3
نعتبر متتالية (vn)n∈IN معرفة كما يلي
vn=un+1
1) احسب v0.
2) بين ان (vn) متتالية هندسية يجب تحديد اساسها
3) حدد vn بدلالة n
4) استنتج un بدلالة n}

تصحيح

1) لدينا v_n=u_n+1
اذن v₀=u₀+1=3+1=4 2) نبين ان (v_n) متتالية هندسية من اجل ذلك نحسب v_n+1

لدينا v_n=u_n+1 اذن v_n+1=u_n+1+1
ie v_n+1=(2u_n+1)+1=2(u_n+1)
وبما ان u_n+1=v_n فان v_n+1=2v_n وهذا يعني ان (v_n) متتالية هندسية اساسها q=2 وحدها الاول v₀=4
3) نحدد v_n بدلالة n
بما ان (v_n) متتالية هندسية فان
v_n=v₀qⁿ, ومنه فان v_n=4.2ⁿ
4) بما ان v_n=u_n+1 فان u_n=v_n-1
اذن u_n=4.2ⁿ -1

تمرين 20 tp

(u_n)n≥1 متتالية معرفة كما يلي
u_n+1=-3u_n+4 وحدها الاول هو u₁=3
نعتبر المتتالية (v_n) المعرفة كما يلي
v_n=u_n-1
1) احسب v₁
2) بين ان المتتالية (v_n) متتالية هندسية يجب تحديد اساسها
3) حدد v_n بدلالة n
4) حدد u_n بدلالة n

تصحيح

1) نحسب v₁ v₁=u₁-1=3-1=2
2) نبين ان (v_n) هي متتالية هندسية من اجل ذلك نحسب v_n+1

لدينا v_n+1=u_n+1-1 اذن
v_n+1=-3u_n+4-1
= -3u_n+3=-3(u_n-1)=-3v_n
ومنه فان (v_n)n≥1 متتالية هندسية اساسها (3-)
3) نحسب v_n بدلالة n
بما ان (v_n) متتالية هندسية فان v_n=v₁q^n-1 اي v_n=2.(-3)^n-1
4) بما ان v_n=u_n-1 فان u_n=v_n+1
u_n=2.(-3)^n-1 + 1

تمرين 21 tp

(u_n) متتالية حسابية اساسها 8 وحدها الاول u₀=1
نعتبر المتتالية (v_n) المعرفة كما يلي

vn=	1	un +2
	4

1) احسب v₀.
2) بين ان المتتالية (v_n) هي متتالية حسابية يجب تحديد اساسها
3) حدد v_n بدلالة n
4) حدد u_n بدلالة n

تصحيح

1) نحسب v₀

v0=	1	u0 +2	=	1	1 +2
	4			4
⇒ v0=	9
	4

2) نبين ان المتتالية (v_n) هي متتالية حسابية اذن نحسب v_n+1

vn+1=	1	un+1 +2
	4

=	1	(un+8) +2
	4

او

vn+1=	1	un+2 +2
	4
=[	1	un+2]+2
	4

اذن v_n+1=v_n+2 وهذا يعني ان (v_n) متتالية حسابية اساسها 2.

3) نحسب v_n بدلالة n
بما ان (v_n) هي متتالية حسابية فان : v_n=v₀+2n اي

vn=	9	+2n
	4

4) نحدد u_n بدلالة n:
بما ان (u_n) متتالية حسابية اساسها 8 فان
u_n=u₀+8n اذن u_n=1+8n