Exercice 1 tp
Soit (un)n≥0 une suite numérique définie par
| { |
(n∈IN): |
un+1 = |
1 |
(un+ |
4 |
) |
| 2 |
un |
| u0=3 |
|
|
|
|
1) Montrer que (∀n∈IN): un>0.
2) (a) Montrer que
| (∀n∈IN): un+1 -2 = |
1 |
. |
(un-2)² |
| 2 |
un |
(b) Montrer que (∀n∈IN): un>2.
3) (a) Montrer que
| (∀n∈IN): un+1 -2 = |
1 |
(un-2)+ |
2 |
-1 |
| 2 |
un |
(b) Déduire que
| (∀n∈IN): un -2 < ( |
1 |
)n |
| 2 |
Correction
1) On montre par récurrence la propriété
(P): (∀n∈IN): un>0
la propriété (P) est vraie pour n=0 car u0=3>0
on suppose que la propriété (P) est vraie pour n
c'est à dire un>0
et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire un+1>0.
On a
donc
ou encore un+1>0 donc la propriété (P) est vraie pour n+1.
ainsi (∀n∈IN): un>0.
2) (a) On a
| un+1-2 = |
1 |
(un+ |
4 |
) - 2 |
| 2 |
un |
| = |
1 |
(un+ |
4 |
- 4) |
| 2 |
un |
| = |
1 |
( |
un²-4un+4 |
) |
| 2 |
un |
| = |
1 |
. |
(un - 2)² |
|
| 2 |
un |
| (∀n∈IN): un+1-2 = |
1 |
. |
(un-2)² |
| 2 |
un |
(b) On montre par récurrence la propriété
(Q): (∀n∈IN): un>2
la propriété (Q) est vraie pour n=0 car u0=3>2.
On suppose que la propriété (Q) est vraie pour n
c'est à dire un>2
et on montre qu'elle est vraie pour n+1.
c'est à dire un+1>2
On a un>2 ⇔ un - 2>0
donc (un - 2)²>0 et un>0
ou encore
un+1 -2 > 0 donc la propriété (Q) est vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN): un>2.
3) (a)
| un+1-2 = |
1 |
(un+ |
4 |
) - 2 |
| 2 |
un |
| = |
1 |
(un+ |
4 |
- 4) |
| 2 |
un |
| = |
1 |
(un-2 + |
4 |
- 2) |
| 2 |
un |
Donc (∀n∈IN)
| un+1-2 = |
1 |
(un - 2) + |
2 |
-1 |
| 2 |
un |
(b) On a
| un+1 -2 = |
1 |
(un-2)+ |
2 |
-1 |
| 2 |
un |
Le nombre
est négatif donc ∀n∈IN
| u1 -2 < |
1 |
(u0-2) |
| 2 |
| u2 -2 < |
1 |
(u1-2) |
| 2 |
| u3 -2 < |
1 |
(u2-2) |
| 2 |
| "" "" |
"" | "" "" |
| un -2 < |
1 |
(un-1-2) |
| 2 |
On additionne membre à membre les deux membres des inégalités
et après simplification on obtient
| (∀n∈IN): un -2 < ( |
1 |
)n |
| 2 |