1- صيغ التحويل
انشطة
المستوى منسوب الى معلم متعامد ممنظم
(O;i→ ; j→);
(C) الدائرة المثلثية و x;y∈IR
A ; B نقطتان من (C) بحيث
(i→;OA→) ≡ a[2π]
(i→;OB→) ≡ b[2π]
اذن (OA→;OB→) ≡ (b-a)[2π]
1) بين ان OA→.OB→ = cos(b-a)
و det(OA→;OB→) = sin(b-a)
2) استنتج العلاقتين التاليتين
cos(b-a) = cosa×cosb + sina×sinb
sin(b-a) = sinb×cosa - cosb×sina
خاصيات
| a;b∈IR |
| cos(a-b) = cosa×cosb + sina×sinb |
| sin(a-b) = sina×cosb - cosa×sinb |
نتائج 1
a+b=a-(-b) اذن
cos(a+b)=cosa×cosb - sina×sinb
sin(a+b)=sina×cosb + cosa×sinb
| tan(a-b)= | tana-tanb |
| 1+tana×tanb |
| tan(a+b)= | tana+tanb |
| 1-tana×tanb |
تطبيقات
احسب
| cos | 5π | ; |
sin | 7π |
| 12 | 12 |
| tan | 5π | ; |
tan | 7π |
| 12 | 12 |
نتائج 2
نضع a = b في الخاصيات السابقة
sin2a = 2sina×cosa
و cos2a=cos²a - sin²a
sin²a=1-cos²a
اذن cos2a=2cos²a - 1
اي cos²a=1 - sin²a اذن cos2a=1-2sin²a
| sin²(a)= | 1-cos2a |
| 2 |
| tan(2a)= | 2tana |
| 1-tana×tanb |
تطبيقات
احسب
1.2.3 نتائج 3
لدينا
sin2a = 2sina×cosa
[cos²a]-1
= 1+tan²a
tana = sina[cosa]-1 اذن
sin2a = 2sina×cosa
= 2cos²a ×sina[cosa]-1
اذن
وبما ان
فان
| cos(2a)= | sin2a |
= |
| tan2a |
| 2tana |
× | 1-tan²a |
| 2tana | 1+tan²a |
ومنه فان
| cos(2a)= | 1-tan²(a) |
| 1+tan²(a) |
تطبيقات
احسب
1.2.4 نتائج 4
نقوم بعملية الجمع
cos(a-b)+cos(a+b) ⇒
| cosa×cosb= | 1 |
[cos(a-b)+cos(a+b)] |
| 2 |
نقوم بعملية الطرح
cos(a-b)-cos(a+b) ⇒
| sina×sinb= | 1 |
[cos(a-b)-cos(a+b)] |
| 2 |
نقوم بعملية الجمع
sin(a-b)+sin(a+b) ⇒
| sina×cosb= | 1 |
[sin(a-b)+sin(a+b)] |
| 2 |
نقوم بعملية الطرح
sin(a-b)-sin(a+b) ⇒
| cosa ×sinb= | -1 |
[sin(a-b)-sin(a+b)] |
| 2 |
1.2.5 نتائج 5
a+b=p و a-b=q ⇒
| cosp+cosq= 2cos | (p+q) |
×cos | (p-q) |
| 2 | 2 |
| cosp-cosq= -2sin | (p+q) |
×sin | (p-q) |
| 2 | 2 |
| sinp+sinq=2sin | (p+q) |
×cos | (p-q) |
| 2 | 2 |
| sinp-sinq=2cos | (p+q) |
× sin | (p-q) |
| 2 | 2 |