تمرين 5 tp

حل في IR المعادلات التالية
√2 -2cosx = 0
√3 +3tanx = 0
2sinx + √3 = 0.

تمرين 6 tp

1) حل في المجال I=[-π;π] المتراجحة tanx≥-√3
2) استنتج مجموعة حلول المتراجحة tanx < -√3
على I=[-π;π]

تصحيح

1) ليكن x∈I لدينا tanx∈IR اذا كان

x≠	-π	و x≠	π
	2		2

نعلم ان

tan(	-π	)= -√3
	3

اذن

x=	-π	+kπ, k∈ℤ
	3

ثانيا نؤطر هذه الحلول في المجال I=[-π;π]
لدينا

-π≤	-π	+kπ	≤π ⇔	-1≤	-1	+k	≤1
	3				3

⇔

-1-	-1	≤+k≤1-	-1	⇔	-2	≤k≤	4
	3		3		3		3

بما ان k∈ℤ فان k=0 او k=1 فان

x=	-π	او x=	2π
	3		3

كل من هذين الحلين يخالف (-π/2) و (π/2).
ثالثا نمثل هذه الحلول على محور او على الدائرة المثلثية (C)
(-π)---(-π/2)---(-π/3)---(0)
(0)---(π/2)---(2π/3)---(π)

اذن مجموعة حلول هذه المتراجحة هي

S=[-π;	-π	[∪[	-π	;	π	[∪[	2π	;π]
	2		3		2		3

2)
(-π)---(-π/2)----(-π/3)---(0)
(0)---(π/2)----(2π/3)---(π)
نستنتج مجموعة حلول المتراجحة tanx < 1
على I=[-π;π]

S=]	-π	;	-π	[∪]	π	;	2π	[
	2		3		2		3

تمرين 7 tp

حل في [0 ; π] المتراجحات التالية
√2 +2cosx < 0
-√3 + 2sinx ≥ 0
tanx > -1

تمرين 8 tp

1) حل في [0 ; π] المعادلة التالية
(sinx + 2)(2cosx-1) = 0
2) حل في [0 ; π] المتراجحة التالية
(2sinx -√3)(2cosx+1) < 0

تمرين 9 tp

حل في IR المعادلات التالية
cos2x + cosx -2 = 0
cosx +sinx = 1
cos(2x) + sin2x = 1

تمرين 10 tp

حل في IR المعادلات التالية
sin2x = tanx
sin(2x-π/3) + cos(3x-π/3)
tanx tan4x = -1

تمرين 11 tp

حل في [0 ; π] المتراجحة التالية
√3 cos(2x-π/3) - sin(2x-π/3) > -1

تمرين 12 tp

1) حل المعادلة التالية في IR
1+sin2x+cos2x=0
2) حل في المجال ]-π;π] المتراجحة
1+sin2x+cos2x ≥0

تمرين 13 tp

حل في المجال ]-π;π] المتراجحات التالية
(I1): 1+2sinx-cos2x ≥0
(I2): 1+2cosx+cos2x ≤0
(I3): 1+cos2x-sin2x ≥0

تمرين 14 tp

ليكن x∈IR
بين ان

cos³(x)=	1	(cos(3x) + 3cos(x))
	4
sin³(x)=	1	(3sin(x) - sin(3x))
	4

تمرين 15 tp

a∈]0;

π

[

بين ان

√(1+sin(a)) + √(1-sin(a)) = 2cos(	a	)
	2

تمرين 16 tp

نضع
P(x)=√(2)sin2x-2√(2)cos²(x)-√(2)sin(x)+√(2)cos(x)

1) بين ان لكل x∈IR

P(x)=2(2cos(x)-1)sin(x -	π	)
	3

2) حل في IR المعادلة P(x)=0 ومثل حلولها على الدائرة المثلثية
3) حل في المجال [0;π] المتراجحة P(x)≥0

تمرين 17 tp

ليكن x∈IR نضع
P(x)=sin(x) - sin(2x) - sin(3x))
1) بين ان sin(3x)= sin(x)(3-4sin(x))
2) بين ان P(x)= (-4cos(x)-2cos(x)+2)sin(x)
3) حل في IR المعادلة P(x)=0
4) حل في المجال ]-π;π[
المتراجحة P(x) < 0