تمرين 19 tp

1) حل في IR المعادلة التالية
(E): √(2)cosx - √(2)sinx -1 =0
2) حل في ]-π;π] المعادلة (E)
3) حل في ]-π;π] المتراجحة
(I): √(2)cosx - √(2)sinx - 1 ≤0
4) استنتج في ]-π;π] مجموعة حلول المتراجحة
(I2): √(2)cosx - √(2)sinx - 1 ≤0

تصحيح

1) √(2)cosx - √(2)sinx - 1 =0
لدينا a= √(2); b= - √(2) اذن √(a²+b²)=√(2+2)=2
√(2)cosx - √(2)sinx - 1 =0

⇔ 2(cosx	√(2)	- sinx	√(2)	+	1	)
	2		2		2

نعلم ان

cos	π	=	√(2)	; sin	π	=	√(2)
	4		2		4		2

اذن المعادلة تصبح

cosx.cos	π	- sinx.sin	π	-	1	= 0
	4		4		2

أي

cos(x+	π	)	=	1	= cos	π
	4			2		3

ومنه فان

x1 +	π	=	π	+ 2kπ ; k∈ℤ
	4		3
x2 +	π	=	-π	+ 2kπ ; k∈ℤ
	4		3

اي

x1	=	π	+ 2kπ ; k∈ℤ
		12
x2	=	-7π	+ 2kπ ; k∈ℤ
		12

وبالتالي مجموعة حلول المعادلة

S ={	-7π	+ 2kπ	;	π	+ 2kπ / k∈ℤ}
	12			12

2) نحل في ]-π;π] المعادلة (E)
نؤطر الحلول في ]-π;π]
(q1) -π< x2 ≤ π

-π <	-7π	+ 2kπ ≤π
	12

-1 <	-7	+ 2k ≤1
	12
-1 +	7	< 2k ≤1+	7
	12		12

اي

-5	< k ≤	19	; k∈ℤ
24		24

اذن k=0 ومنه فان

x2 =	-7π
	12

(q2) -π< x1 ≤ π

-π <	π	+ 2kπ ≤π
	12
-1 <	1	+ 2k ≤1
	12
-1 -	1	< 2k ≤1-	1
	12		12

اي

-13	< k ≤	11	; k∈ℤ
24		24

اذن k=0 ومنه فان

x1 =	π
	12

ومنه فان

S ={	-7π	;	π	}
	12		12

3) نحل في ]-π;π] المتراجحة
(I): √(2)cosx - √(2)sinx -1≤0

⇔ cos(x+	π	)	≥	1
	4			2

لدينا

X = x+	π	⇔	x = X-	π
	4			4

-π < x ≤ π ⇔

-3π	< X ≤	5π	⇔	X∈]	-3π	;	5π	]
4		4			4		4

نضع

P(x)= cos(x+	π	) -	1
	4		2

x	-π		-7π		π		π
			12		12
X	-3π		-π		π		5π
	4		3		3		4
P(x)		-	0	+	0	-

S =]-π ;	-7π	]∪[	π	π]	ومنه فان
	12		12

4) نستنتج في ]-π;π] مجموعة حلول المتراجحة
(I2): √(2)cosx - √(2)sinx -1 > 0

S2 =]	- 7π	;	π	[
	12		12