Nombres complexes (11)
Rappel
1) Tout nombre complexe z de module 1 et d'argument x s'écrit sous la forme z = eix
En d'autre terme z= cosx+isinx = eix
2) (∀z∈ℂ*)(∃x∈IR): z=|z|eix
3) Soient z=reix et z'=r'eix' deux nombre complexes
z.z'= rr'ei(x + x')
| 1 | = | 1 | e-ix' | z | = | r | ei(x - x') | |
| z' | r' | z' | r' |
Exercice 1 tp
Ecrire sous la forme exponentielle
le nombre complexe z = 1 - i
Correction
On a | z | = √(2)
donc (∃x∈IR)
z = √(2)(cosx + isinx)
| z = √(2)( | √(2) | + i | - √(2) | ) |
| 2 | 2 |
On a
| { | cosx = | √(2) | = cos | -π |
| 2 | 4 | |||
| sinx = | - √(2) | = sin | -π | |
| 2 | 4 |
Donc il suffit de prendre
| x = | -π |
| 4 |
Ainsi
| z = √(2)(cos | - π | + isin | - π | ) |
| 4 | 4 |
Et donc z = √(2) e- π/4
Exercice 2 tp
Ecrire z = (1+i).(1+√3i) sous forme exponentielle
Correction
On pose a=1+i et b=1+i√(3)
On a | a | = √(1²+1²) = √(2)
Donc ∃x1∈IR tel que a=√(2)(cosx1 + isinx1)
| a = √(2)( | √(2) | + i | √(2) | ) |
| 2 | 2 |
On a
| { | cosx1 = | √(2) | = cos | π |
| 2 | 4 | |||
| sinx1 = | √(2) | = sin | π | |
| 2 | 4 |
| Donc x1 ≡ | π | [2π] |
| 4 |
Ainsi
| a = √(2)(cos | π | + isin | π | ) |
| 4 | 4 |
Et donc a = √(2) e π/4
On a | b | = √(1²+√(3)²) = √(4) = 2
Donc ∃x2∈IR tel que b=√(2)(cosx2 + isinx2)
| b = 2( | 1 | + i | √(3) | ) |
| 2 | 2 |
On a
| { | cosx2 = | 1 | = cos | π |
| 2 | 3 | |||
| sinx2 = | √(3) | = sin | π | |
| 2 | 3 |
| Donc x2 ≡ | π | [2π] |
| 3 |
Ainsi
| b = 2(cos | π | + isin | π | ) |
| 3 | 3 |
Et donc b = 2 eiπ/3
Finalement z = ab = 2√(2) ei(π/4 + π/3)
alors z = 2√(2)e i7π/12
Exercice 3 tp
Ecrire le nombre complexe z suivant
| Z = | 2-2i |
| -1+i√3 |
sous la forme exponentielle
Correction
On pose a = 2-2i et b = -1+i√3
1) |a| = √(2²+(-2)²) = 2√2
(∃x1): a=(2√2)(cosx1 + isinx1)
| cosx1 = | 2 | = | √2 |
| 2√2 | 2 | ||
| sinx1 = | -2 | = | - √2 |
| 2√2 | 2 |
| Donc arga ≡ | - π | [2π] |
| 4 |
2) |b| = √((-1)²+(√3)²) = 2
(∃x2): b=2(cosx2 + isinx2)
| cosx2 = | - 1 | et sinx2 = | √3 |
| 2 | 2 |
| Donc argb ≡ | 2π | [2π] |
| 3 |
| Et donc argb-1 ≡ | -2π | [2π] |
| 3 |
Ainsi Z = √(2)ei(-π/4 - 2π/3)
alors Z = √(2)e-i(11π/12)