Mathématiques du secondaire qualifiant

Nombres complexes (9)

Exercice 1 tp

Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormé direct (O;u;v)
Déterminer l'ensemble des points M(Z) du plan tel que

|Z - 1 + i| = 1
Z + 2i
Correction
|Z - 1 + i| = 1 ⇔ |Z - 1 + i| = | Z + 2i|
Z + 2i

⇔ |Z - (1-i)| = |Z - (-2i)|
⇔ AM = BM avec A(1-i) ; B(-2i)
Donc M appartient à la médiatrice du segment[AB]
Donc l'ensemble de points M(Z) est la médiatrice du segment [AB]

Exercice 2 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u;v), on considère les points A(1-i); B(2i); C(2+2i)
Déterminer (L), l'ensemble des points M(Z) tel que
||2MA + MB-MC|| = 2√2

Correction

Les points pondérés (A;2) ; (B;1) ; (C;-1) admet une barycentre G car 2+1+(-1)=2≠0

|2MA+MB-MC|| = 2√2
⇔ ||(2+1-1)MG|| = 2√2
⇔2MG = 2√2⇔MG = √2
et cela signifie que M appartien au cercle de centre G et de rayon √2
G est une barycente alors
2OA + OB - OC = 2OG
donc G((1-i)+ i -(1+i))
Ainsi l'ensemble (L) est un cercle
de centre G(-i) et de rayon √2

Rappel
1) Formule de Moivre
Soient x un nombre réel et n un entier naturel non nul
(cosx + isinx)n= cos(nx) + isin(nx)

Soit z∈ℂ* tel que z=[r ; x]
∀n∈IN* on a zn = [rn ; nx]

2) Formules d’Euler Soit z = cosx+isinx ∈ℂ
z + z = 2cosx et z - z = i2sinx

cosx = z + z sinx = z - z
22i

∀x∈IR et ∀n∈IN

cos(nx)= zn + zn sin(nx) = zn - zn
22i
Exercice 3 tp

Linéariser cos²x et déterminer les primitives de cos²x

Correction

On pose z=cosx + isinx donc zz=1 et on utilise la formule d'Euler

(cosx)² = ( z + z )² = z² + 2zz + z²
44
= ( z² + z² ) + 1
2( 2 )2
Ainsi cos²(x) = 1 cos(2x) + 1
22

Et donc les fonctions primitives de cos²(x) sont les fonctions Fk définies par

Fk(x) = 1 sin2x + 1 x + k avec k∈IR
42
Exercice 4 tp

Linéariser sin³x et déterminer les primitives de sin³x