Dérivation (4)
1.3 Dérivation sur un intervalle et opérations sur la dérivée
1.3.1 Dérivation sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout élément de I.
La fonction qui associe chaque élément x par le nombre dérivé f'(x) est appelée fonction dérivée de f et est notée f'.
1.3.2 Opérations sur la dérivée
Dérivée de la somme et le produit
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I
k∈IR et n∈IN*.
Les fonctions f+g ; kf ; fg et fn sont
dérivables sur I et on a (∀x∈I)
| (f+g)'(x) = | f'(x)+g'(x) |
| (kf)'(x) = | kf'(x) |
| (fg)'(x) = | f '(x)g(x)+f(x)g '(x) |
(fn)'(x) = nfn-1f '(x)
(f(ax+b))'(x) = af'(ax+b).
Résultats Soit n∈IN*
1) (∀x∈IR): (xn)' = nxn-1.
2) Toute fonction polynôme est dérivable sur IR.
Exemple 1
1) Soit f une fonction définie par
f(x) = x³+5x²+7x+13.
Calculer f'(x).
Correction
On a f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(x³+5x²+7x-13)'
=(x³)'+(5x²)'+(7x)-(13)'
donc f'(x)=3x²+5(2.x)+7(1.x°)+0
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=3x²+10x+7.
Exemple 2
Soit f une fonction définie par
f(x)=(x²-7x)(3x+5).
Calculer f'(x).
Correction
f est le produit de deux fonctions polynômes
donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(x²+x)(-x-4)]'
=((2.x+1)(-x-4)+(x²+x)(-1)
=(-2x²-8x-x-4)+(-x²-x)
=-3x²-10x-4
aonsi (∀x∈IR): f'(x)=- 3x²-10x-4.
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)=(x³-3x)(1-5x).
Calculer f'(x).
Correction
f est le produit de deux fonctions dérivables sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(x³-3x)(1-5x)]'
=(x³-3x)'(1-5x)+(x³-3x)(1-5x)'
=((3x²-3)(1-5x)+(x³-3x)(-5)
=(3x²-15x³-3+15x)+(-5x³+15x)
=-20x³+3x²+30x-3
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=-20x³+3x²-30x-3.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par: f(x)=(5x³-1)².
Calculer f'(x).
Correction
f est le carré d'une fonction dérivable sur IR
donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(5x³-1)²]'=2(5x³-1)'(5x³-1)2-1
=2(5.3x²)(5x³-1)=30x².5x³-30x²
donc (∀x∈IR): f'(x)=150x5-30x².
Dérivée de l'inverse
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I.
Si g ne s'annule pas sur I alors
l'inverse de g est dérivable sur I et de plus
| (∀x∈I): ( | 1 | )' = | -g'(x) |
| g | (g(x))² |
| (∀x∈I): ( | f | )' = | f'(x)g(x) - f(x)g'(x) |
| g | (g(x))² |
Résultat Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.